Углеродные нанотрубки

| Категория реферата: Рефераты по физике
| Теги реферата: реферат легкая атлетика, баллов
| Добавил(а) на сайт: Nabokin.

Объединяя (3), (4) и (5), получим
[pic]Умножая полученное на 6 и приводя подобные, получим:

[pic] причем равенство возможно только в том случае, когда в вершине сходятся три грани. В нашем случае, для идеальных фулеренов и для нанотрубок, запаянных с обоих концов это выполнено. Отсюда видно, что в состав них может входить ровно 12 пятиугольников.

Вторым следствием теоремы Эйлера является так называемая эйлерова характеристика поверхности.

Пусть Q — поверхность, которая допускает разбиение на многоугольники; это означает, что на поверхности можно «нарисовать» граф, разбивающий ее на конечное число кусков, гомеоморфных кругу. Обозначим число вершин и ребер графа через В и Р, а число многоугольников, на которые Q разбивается этим графом,— через Г. Число

X (Q) = В - Р + Г (6)

называется эйлеровой характеристикой поверхности Q. Строго говоря, число
(6) определяется не самой поверхностью Q, а выбором ее разбиения на многоугольники. Однако теорема Эйлера показывает, что для поверхности Q, гомеоморфной сфере, эйлерова характеристика не зависит от выбора разбиения на многоугольники: Х(Q)=2. Докажем, что и для любой поверхности Q ее эйлерова характеристика Х(Q) не зависит от выбора разбиения на многоугольники, а определяется самой поверхностью.
В самом деле, пусть на, поверхности Q «нарисованы» два графа G1, G2, каждый из которых задает разбиение на многоугольники. Числа вершин, ребер и граней разбиения, определяемого графом G1, обозначим через B1, Р1, Г1, а соответствующие числа для разбиения, определяемого графом G2,— через В2,
Р2, Г2. Вообще говоря, графы G1 и G2 могут пересекаться в бесконечном числе точек. Однако, «пошевелив» граф G1, мы сможем добиться того, чтобы G1 и G2 пересекались лишь в конечном числе точек.
Далее, если граф G1[pic] G2 несвязен, то, «пошевелив» графы G1, G2, можно добиться того, чтобы они имели общие точки и, следовательно, их объединение было связным. Итак, мы можем предполагать, что графы G1 и G2 пересекаются лишь в конечном числе точек и имеют связное объединение G1[pic]G2. Считая новыми вершинами все точки пересечения графов G1 и G2, а также все вершины этих графов, мы найдем, что G1[pic]G2 является конечным связным графом (его ребрами являются куски ребер графов G1 и G2, на которые они разбиваются вершинами графа G1[pic]G2).
Обозначим через В и Р число вершин и ребер графа G1[pic]G2, a через Г — число граней, на которые он разбивает поверхность Q. Идея состоит в том, чтобы доказать равенства

[pic] (7) из которых и будет следовать, что B1-P1+Г1=B2-P2+Г2. Оба равенства (7) доказываются одинаково; докажем первое.
Пусть М - некоторый многоугольник («грань»), определяемый графом G1.
Обозначим число вершин и ребер графа G1[pic]G2, расположенных внутри М (не на контуре), через В' и Р', а число вершин (а значит, и ребер) этого графа, расположенных на контуре многоугольника М, через q. Далее, число граней, определяемых графом G1[pic]G2 и содержащихся в М, обозначим через Г'. На рис. 4 имеем В'=4, Р'=12, Г'=9, q=15.

Вырежем теперь многоугольник М (вместе с имеющейся на нем частью графа
G1[pic]G2) из поверхности Q. Так как М гомеоморфен кругу и, значит, полусфере, то его можно второй («нижней») полусферой дополнить до поверхности, гомеоморфной сфере (рис. 5). На этой сфере расположен связный граф, имеющий В'+q вершин, Р'+q ребер и определяющий Г'+1 граней (Г' граней содержится в М и еще одной гранью является нижняя полусфера).
Следовательно, согласно (1), (В'+q)- (Р'+q)+(Г'+1)=2, т. е.

В'-Р'+Г=1. (8)
Если теперь (возвращаясь к поверхности Q, на которой начерчен граф
G1[pic]G2) мы выбросим из графа G1[pic]G его часть, расположенную внутри М, то получится новый граф, для которого, однако, число В-Р+Г останется таким же, как и для графа G1[pic]G2. В самом деле, вместо В' вершин, Р' ребер и
Г' граней, имевшихся внутри М, мы теперь будем иметь 0 вершин, 0 ребер и одну грань (сам многоугольник М), т. е. число В'-Р'+Г' заменится на 0-0+1, а это, согласно (8), ничего не меняет.

[pic]

Рис. 4. Рис. 5.

Теперь ясно, что если мы из графа G1[pic]G2 выбросим его части, расположенные внутри всех многоугольников, определяемых графом G1, то получим новый граф G*, для которого число В-Р+Г будет таким же, как и для графа G1[pic]G2 Иначе говоря,

В*-Р*+Г*=В-Р+Г (9) где В* и Р* — число вершин и ребер графа G*, а Г* — число определяемых им граней.

Заметим, наконец, что граф G* получается из G1 добавлением нескольких новых вершин на ребрах. Добавление каждой новой вершины увеличивает число ребер на 1 (поскольку добавленная вершина разбивает одно из ребер на два).
Следовательно, если переход от графа G1 к G* осуществляется добавлением k новых вершин, то В*=B1 + k1*P*=P1+k. Кроме того, Г*=Г1 (так как граф G* определяет те же грани, что и граф G1). Таким образом,

В*-Р*+Г*=(B1+k)-(P1+k)+Г1=В1-Р1+Г1,

а это, согласно (9), и дает первое из соотношений (7).

Итак эйлерова характеристика поверхности не зависит от ее разбиения на многоугольники, а определяется самой поверхностью. Кроме того, если поверхности Q1и Q2 гомеоморфны, то X(Q1)=Х(Q2).

Отсюда имеем еще одно следствие: т.к. эйлерова характеристика поверхности для незакрытой трубки равна нулю, то, рассуждая также как и в первом следствии, можно получить неравенство

[pic]
Это соотношение плохо описывает идеальную нанотрубку, но для реальной нанотрубки с «дислокациями» оно качественно правильно.

Итак, в данной части работы была доказана теорема Эйлера, которая позволила нам теоретически доказать необходимость перестройки графитовой плоскости в случаях, когда реакции происходят с образованием фулеренов и запаянных нанотрубок, а также было найдено соотношение для многоугольников в случае, когда имеет место рассмотрение реальных нанотрубок с дефектами.

При использовании для получения нанотрубок электрической дуги с графитовым электродом образуются преимущественно многослойные нанотрубки, диаметр которых лежит в диапазоне от одного до нескольких десятков нанометров. Кроме того, такие нанотрубки отличаются различной хиральностью, что определяет различие их электронной структуры и электрических характеристик. Распределения нанотрубок по размерам и углу хиральности критическим образом зависят от условий горения дуги и не воспроизводятся от одного эксперимента к другому. Это обстоятельство, а также разнообразие размеров и форм нанотрубок, входящих в состав катодного осадка, не позволяет рассматривать данный материал как вещество с определенными свойствами. Частичное преодоление указанной проблемы стало возможным благодаря использованию процедуры обработки данного материала сильными окислителями. Методы очистки и обработки нанотрубок с помощью окислителей основан на том обстоятельстве, что реакционная способность протяженного графитового слоя, содержащего шестичленные графитовые кольца и составляющие поверхность нанотрубок, значительно меньше соответствующих характеристик для сфероидальной поверхности, содержащей также некоторое количество пятичленных колец.
[pic]Рис. 6. Иллюстрации хиральности нанотрубок - часть графитовой плоскости, свертывание которой в цилиндр приводит к образованию однослойной нанотрубки.

Одним из основных параметров, характеризующих нанотрубки является хиральность. Трубки характеризуются различной хиральностью, т.е. углом ориентации графитовой плоскости относительно оси трубки. Идеализированная нанотрубка представляет собой свернутую в цилиндр графитовую плоскость, т.е. поверхность выложенную правильными шестиугольниками, в вершинах которых расположены атомы углерода. Результат такой операции зависит от угла ориентации графитовой плоскости относительно оси нанотрубки. Угол ориентации задает хиральность нанотрубки, которая определяет, в частности ее электрические характеристики. Это свойство нанотрубок иллюстрируется на рис. 6, где показана часть графитовой плоскости и отмечены возможные направления ее сворачивания. Хиральность нанотрубок обозначается набором символов (m,n), указывающим координаты шестиугольника, который в результате сворачивания плоскости должен совпасть с шестиугольником, находящимся в начале координат. Некоторые из таких шестиугольников вместе с соответствующими обозначениями отмечены на рисунке. Другой способ обозначения хираль-ности состоит в указании угла а между направлением свора- чивания нанотрубки и направлением, в котором соседние шестиугольники имеют общую сторону. Среди различных возможных направлений сворачи-вания нанотрубок выделяются направле-ния, для которых совмещение шести-угольника
(m,n) с началом координат не требует искажения в его структуре. Этим направлениям соответствуют угол а=О и а=30°. Указанные конфигурации отвечают хиральностям (m,0) и (2n,n) соответственно.

Индексы хиральности однослоиной нанотрубки (m,n) однозначным образом определяют ее диаметр D. Эта связь очевидна и имеет следующий вид:

[pic] где [pic]= 0,142 нм — расстояние между соседними атомами углерода в графитовой плоскости.

Разрешающая способность современных электронных микроскопов недостаточна для непосредственного различения нанотрубок с разной хиральностью, поэтому основной способ определения данного параметра связан с измерением их диаметра.