пС¬µїґ 1. дЗммша к кмцДPоЗыкf.
ЕЅбЎ ЅС¬µїї:
1. и«ј»эЇФСpїєбµїґ «нЪСЯФуб.
2. кЎФСp»pСФбµїґ сбЎЎЩХ.
3. ц«pјб »pСсЯФбуЅСЎїґ сбЎЎЩХ.
4. тpбЎСЎїС, ¬«сїp«убЎїС ї »pС«нpбє«убЎїС їЎх«pјбµїї.
5. иЅЇюСуЩС ЯЅ«уб.
6. и«ЎФp«ЅэЎЩС у«»p«ЯЩ ї »pСсЅ«ЄСЎїґ.

1. и«ј»эЇФСpїєбµїґ «нЪСЯФуб. асїЎЯФу« єб¬«Ў«у «нpбн«Ф¬ї їЎх«pјбµїї у ЯїЯФСјбХ pбєЅїюЎ«® »pїp«сЩ
(хїєїюСЯ¬їХ, Э¬«Ў«јїюСЯ¬їХ, нї«Ѕ«ъїюСЯ¬їХ ї Ф.».) ґуЅґСФЯґ хТЎсбјСЎФбЅэЎ«®
«ЯЎ«у«® ФС«pїї їЎх«pјбµї«ЎЎЩХ »p«µСЯЯ«у, «»pСсСЅґЇЪС® СС «нЪСєЎбюїј«ЯФэ ї
Я»СµїхїюЎ«ЯФэ. ДнЫС¬Ф«ј їєТюСЎїґ ЭФ«® ФС«pїї ґуЅґСФЯґ їЎх«pјбµїґ - »«ЎґФїС у« јЎ«ъ«ј бнЯФpб¬ФЎ«С, ЯТЮСЯФуТЇЪСС "Ябј« »« ЯСнС" уЎС Яуґєї Я ¬«Ў¬pСФЎ«®
«нЅбЯФэЇ єЎбЎїґ, у ¬«Ф«p«® «Ўб їЯ»«ЅэєТСФЯґ.
ШФ« «нЯФ«ґФСЅэЯФу« Ўб¬ЅбсЩубСФ «»pСсСЅСЎЎЩ® «Ф»СюбФ«¬ Ўб уЯЇ їЎх«pјбФї¬Т
¬б¬ ЎбТ¬Т «н «pъбЎїєбµїї ¬«ј»эЇФСpЎЩХ їЎх«pјбµї«ЎЎЩХ ЯїЯФСј, - Фб¬їС
ЯїЯФСјЩ ј«ъТФ їЯ»«Ѕэє«убФэЯґ у ЯбјЩХ pбєЎЩХ »pСсјСФЎЩХ «нЅбЯФґХ, »pїуЎ«Яґ у
ЎїХ "Яу«ї »pбуїЅб їъpЩ", Яу«ї єб¬«Ў«јСpЎ«ЯФї, «ъpбЎїюСЎїґ ј ујСЯФС Я ФСј
Ў«уЩС у«єј«ЄЎ«ЯФї «pъбЎїєбµїї нїєЎСЯб, ¬«Ф«pЩС нЩЅї нЩ ЎСјЩЯЅїјЩ нСє їЎх«pјбФї¬ї ї ЯуґєбЎЎ«ъ« Я ЎС® ¬«ј»эЇФСpб. й ЭФ«ј »ЅбЎС ЎСу«єј«ЄЎ«
»СpС«µСЎїФэ Фб¬їС Яу«®ЯФуб їЎх«pјбµїї ¬б¬ с«ЯФТ»Ў«ЯФэ, Яу«СуpСјСЎЎ«ЯФэ
»«ЅТюСЎїґ, ¬«јјСpюСЯ¬бґ µСЎЎ«ЯФэ, ЎбсСЄЎ«ЯФэ. кЎх«pјбµї«ЎЎЩС pСЯТpЯЩ у Я«уpСјСЎЎ«ј «нЪСЯФуС їъpбЇФ ЎС јСЎэЮТЇ, б ЎСpСс¬« ї н«ЅэЮТЇ p«Ѕэ, юСј pСЯТpЯЩ јбФСpїбЅэЎЩС. зЎбЎїґ, ¬«јТ, ¬«ъсб ї ъсС »p«сбФэ
Ф«убp, ј«ЄСФ µСЎїФэЯґ ЎС јСЎэЮС, юСј Я«нЯФуСЎЎ« Ф«убp,- ї у ЭФ«ј »ЅбЎС сїЎбјї¬б pбєуїФїґ «нЪСЯФуб ЯуїсСФСЅэЯФуТСФ « Ф«ј, юФ« Ўб "уСЯбХ" јбФСpїбЅэЎЩХ ї їЎх«pјбµї«ЎЎЩХ pСЯТpЯ«у »«ЯЅСсЎїС ЎбюїЎбЇФ »pСубЅїp«убФэ,
»pїюСј ФСј ЯїЅэЎСС, юСј н«ЅСС «нЪСЯФу« «Ф¬pЩФ«, юСј н«ЅСС pбєуїФЩ у ЎСј
ЯpСсЯФуб ¬«јјТЎї¬бµїї, юСј н«ЅэЮС® їЎх«pјбµїС® «Ў« pбЯ»«ЅбъбСФ. ж »«єїµї® pЩЎ¬б їЎх«pјбµїґ сбуЎ« ТЄС ЯФбЅб Ф«убp«ј ї ЭФ« «нЯФ«ґФСЅэЯФу«
ФpСнТСФ їЎФСЎЯїуЎ«ъ« pбєуїФїґ »pб¬Фї¬ї, »p«јЩЮЅСЎЎ«ЯФї ї ФС«pїї
¬«ј»эЇФСpїєбµїї «нЪСЯФуб. и«ј»эЇФСp ¬б¬ їЎх«pјбµї«ЎЎбґ ЯpСсб ЎС Ф«Ѕэ¬«
»«єу«ЅїЅ Я«уСpЮїФэ ¬бюСЯФуСЎЎЩ® Я¬бюС¬ у «pъбЎїєбµїї »p«јЩЮЅСЎЎ«ЯФї, ЎбТ¬ї ї pЩЎ¬б, Ў« «Ў «»pСсСЅїЅ Ў«уЩС Ябј«µСЎЎЩС «нЅбЯФї »p«їєу«сЯФуб: уЩюїЯЅїФСЅэЎбґ ФСХЎї¬б, ФСЅС¬«јјТЎї¬бµїї, »p«ъpбјјЎЩС »p«сТ¬ФЩ.
ЖСЎсСЎµїї ¬«ј»эЇФСpїєбµїї «нЪСЯФуб ЯуґєбЎЩ Я »«ґуЅСЎїСј Ў«уЩХ »p«хСЯЯї®,
ЯуґєбЎЎЩХ Я уЩюїЯЅїФСЅэЎ«® ФСХЎї¬«®, ї pбєЅїюЎЩХ ¬бФСъ«pї® »«Ѕэє«убФСЅС®
Шйо. аЯЅї у 60-70С ъ«сЩ у ЭФ«® ЯхСpС с«јїЎїp«убЅї Я»СµїбЅїЯФЩ »« уЩюїЯЅїФСЅэЎ«® ФСХЎї¬С (їЎЄСЎСpЩ-ЭЅС¬Фp«Ўї¬ї ї »p«ъpбјјїЯФЩ), Я«єсбЇЪїС
Ў«уЩС ЯpСсЯФуб уЩюїЯЅїФСЅэЎ«® ФСХЎї¬ї ї Ў«уЩС »б¬СФЩ »pї¬ЅбсЎЩХ »p«ъpбјј,
Ф« ЯСъ«сЎґ їЎФСЎЯїуЎ« pбЯЮїpґСФЯґ ¬бФСъ«pїґ »«Ѕэє«убФСЅС® Шйо -
»pСсЯФбуїФСЅС® ЯбјЩХ pбєЎЩХ «нЅбЯФС® єЎбЎї®, ЎС ґуЅґЇЪїХЯґ Я»СµїбЅїЯФбјї »«
¬«ј»эЇФСpбј у Тє¬«ј ЯјЩЯЅС, Ў« ТјСЇЪїХ їЯ»«Ѕэє«убФэ їХ сЅґ pСЮСЎїґ Яу«їХ
Я»СµїхїюСЯ¬їХ єбсбю.
Е«Ѕэє«убФСЅэ Шйо (їЅї ¬«ЎСюЎЩ® »«Ѕэє«убФСЅэ) с«ЅЄСЎ єЎбФэ «нЪїС »pїЎµї»Щ
«pъбЎїєбµїї їЎх«pјбµї«ЎЎЩХ »p«µСЯЯ«у у ¬«ј»эЇФСpЎ«® ЯpСсС, ТјСФэ уЩнpбФэ
ЎТЄЎЩС СјТ їЎх«pјбµї«ЎЎЩС ЯїЯФСјЩ ї ФСХЎїюСЯ¬їС ЯpСсЯФуб ї нЩЯФp« «Яу«їФэ їХ »pїјСЎїФСЅэЎ« ¬ Яу«С® »pСсјСФЎ«® «нЅбЯФї. фюїФЩубґ їЎФСЎЯїуЎ«С pбєуїФїС уЩюїЯЅїФСЅэЎ«® ФСХЎї¬ї ї у« јЎ«ъ«ј ЎбЯЩЪСЎЎ«ЯФэ pЩЎ¬б »p«ъpбјјЎЩХ
»p«сТ¬Ф«у, суб »«ЯЅСсЎїХ ¬бюСЯФуб »pї«нpСФбЇФ «Я«н«С єЎбюСЎїС. оїЎїјТј єЎбЎї® »« «pъбЎїєбµїї ¬«ј»эЇФСpЎЩХ ЯїЯФСј «нЩюЎ« ЎбєЩубЇФ
¬«ј»эЇФСpЎ«® ъpбј«ФЎ«ЯФэЇ. мС ЯТЪСЯФуТСФ ЯФp«ъ« «юСpюСЎЎЩХ pбј«¬,
«»pСсСЅґЇЪїХ ЭФ« »«ЎґФїС, - ¬бЄсЩ® »«Ѕэє«убФСЅэ «»pСсСЅґСФ їХ сЅґ ЯСнґ Ябј,
Ў« ујСЯФС Я ФСј «ФЯТФЯФуїС Фᬫ® ъpбј«ФЎ«ЯФї сСЅбСФ ЯСъ«сЎґ ЎСу«єј«ЄЎЩј с«ЯФТ» ¬« јЎ«ъїј Тє¬« Я»СµїбЅэЎЩј »p«хСЯЯїґј, Ўб »СpуЩ® уєъЅґс уСЯэјб сбЅС¬їј «Ф ¬«ј»эЇФСpб.

2. кЎФСp»pСФбµїґ сбЎЎЩХ збсбсїјЯґ у«»p«Я«ј, юФ« Фб¬«С сбЎЎЩС ї ¬б¬ јЩ ¬ Ўїј «ФЎ«ЯїјЯґ? кЎФТїФїуЎ« ґЯЎ«, юФ« »«с сбЎЎЩјї јЩ »«сpбєТјСубСј ¬б¬«С-Ѕїн« Я««нЪСЎїС, ЎбнЅЇсбСјЩ® хб¬Ф, ЯуСсСЎїґ « юСј-Ѕїн«, pСєТЅэФбФЩ Э¬Я»СpїјСЎФб ї Ф.». кЎбюС ъ«у«pґ, сбЎЎЩС - ЭФ« уЯСъсб ¬«Ў¬pСФЎ«ЯФэ, »pСсЯФбуЅСЎЎбґ у «»pСсСЅСЎЎ«® х«pјС
(юїЯЅ«ј, єб»їЯэЇ, Я««нЮСЎїСј, ФбнЅїµС® ї Ф.с.). жбјї »« ЯСнС сбЎЎЩС Ўї¬б¬«®
µСЎЎ«ЯФї ЎС »pСсЯФбуЅґЇФ. мб Ябј«ј сСЅС, ¬б¬ уЩ «ФЎСЯСФСЯэ, Ўб»pїјСp, ¬
ЯЅСсТЇЪїј сбЎЎЩј:

(1) - "ФpїсµбФэ ЯСјэ Я »«Ѕ«уїЎ«®";

(2) - "2 + 2 = 4";

(3) - "ЕСФp«у ЯФбЅ сїpС¬Ф«p«ј".
ЕСpу«С уЩє«уСФ ЎСс«ТјСЎїС, уФ«p«С - «ЪТЪСЎїС ФpїуїбЅэЎ«ЯФї (ЭФ« єЎбСФ
¬бЄсЩ®), ФpСФэС - pбєјЩЮЅСЎїґ, ¬Ф« Фᬫ® ЕСФp«у? й« уЯСХ »pїуСсСЎЎЩХ
»pїјСpбХ сбЎЎЩС ЎСїЎх«pјбФїуЎЩ (Х«Фґ »« pбєЎЩј »pїюїЎбј), ї сЅґ Ф«ъ«, юФ«нЩ
»pїсбФэ їј їЎх«pјбФїуЎ«ЯФэ, Ф.С. »pСуpбФїФэ їХ у їЎх«pјбµїЇ, ЎС«нХ«сїј«
«ЯТЪСЯФуїФэ їЎФСp»pСФбµїЇ сбЎЎЩХ. кЎФСp»pСФбµїґ - »p«µСЯЯ »pСуpбЪСЎїґ сбЎЎЩХ у їЎх«pјбµїЇ, »p«µСЯЯ »pїсбЎїґ їј ЯјЩЯЅб. ШФ«Ф »p«µСЯЯ єбуїЯїФ «Ф јЎ«ъїХ хб¬Ф«p«у: ¬Ф« їЎФСp»pСФїpТСФ сбЎЎЩС, ¬б¬«® їЎх«pјбµїС® ТЄС pбЯ»«ЅбъбСФ їЎФСp»pСФбФ«p, Я ¬б¬їХ »«єїµї® «Ў pбЯЯјбФpїубСФ »«ЅТюСЎЎЩС сбЎЎЩС ї Ф.с. Еp«µСЯЯ їЎФСp»pСФбµїї ј«ЄСФ
«ЯТЪСЯФуЅґФэЯґ юСЅ«уС¬«ј їЅї ъpТ»»«® Ѕїµ, »pї ЭФ«ј «Ў ј«ЄСФ нЩФэ Фу«pюСЯ¬їј
(Ўб»pїјСp, јТєїµїp«убЎїС »« Ў«ФЎ«® єб»їЯї) їЅї х«pјбЅэЎЩј («»pСсСЅСЎїС уpСјСЎї »« юбЯбј). Жᬫ® »p«µСЯЯ ј«ЄСФ «ЯТЪСЯФуЅґФэЯґ нї«Ѕ«ъїюСЯ¬їјї
«нЫС¬Фбјї (ТЯЅ«уЎЩС pСхЅС¬ЯЩ Я«нб¬, «нЪСЎїС сСЅэхїЎ«у), јЎ«ъїјї
ТЯФp«®ЯФубјї ФСХЎїюСЯ¬«® буФ«јбФї¬ї («нЎбpТЄСЎїС ЯїъЎбЅб «Ф µСЅї у pбсї«Ѕ«¬бµїї Я »«ЯЅСсТЇЪїјї сС®ЯФуїґјї) ї, ¬«ЎСюЎ«, ¬«ј»эЇФСp«ј.
ЗнЯФpб¬ФЎ«ЯФэ їЎх«pјбµїї у «ФЅїюїС «Ф ¬«Ў¬pСФЎ«ЯФї сбЎЎЩХ єб¬ЅЇюбСФЯґ у
Ф«ј, юФ« »p«µСЯЯ їЎФСp»pСФбµїї у «нЪСј ЯЅТюбС ЎС ј«ЄСФ нЩФэ «»pСсСЅСЎ х«pјбЅэЎ«, у Ф« уpСјґ ¬б¬ сбЎЎЩС уЯСъсб ЯТЪСЯФуТЇФ у ¬б¬«®-Ф« «»pСсСЅСЎЎ«® х«pјС. оСЄсТ сбЎЎЩјї ї їЎх«pјбµїС® у «нЪСј ЯЅТюбС ЎСФ уєбїјЎ«-«сЎ«єЎбюЎ«ъ«
Я««ФуСФЯФуїґ. мб»pїјСp, х«pјбЅэЎ« pбєЅїюЎЩС Я««нЪСЎїґ "с« єбуФpб" ї "see you tomorrow" [1] ЎСЯТФ «сЎТ ї ФТ ЄС їЎх«pјбµїЇ. PбєЎЩС єЎб¬ї "x" ї "*" ј«ъТФ Я«сСpЄбФСЅэЎ« «н«єЎбюбФэ «сЎ« ї Ф« ЄС - «»СpбµїЇ ТјЎ«ЄСЎїґ, х«pјбЅэЎ« pбєЅїюЎЩС ЯФp«¬ї "21" ї "XXI" «»pСсСЅґЇФ «сЎ« ї Ф« ЄС юїЯЅ« (у pбєЅїюЎЩХ
ЯїЯФСјбХ ЯюїЯЅСЎїґ). ж сpТъ«® ЯФ«p«ЎЩ «сЎї ї ФС ЄС сбЎЎЩС ј«ъТФ ЎСЯФї Я«уСpЮСЎЎ« pбєЅїюЎТЇ їЎх«pјбµїЇ pбєЎЩј »«ЅТюбФСЅґј (pбєЎЩј їЎФСp»pСФбФ«pбј). мб»pїјСp, єЎб¬ "I" ј«ЄСФ їЎФСp»pСФїp«убФэЯґ ¬б¬ нТ¬уб "б®" у бЎъЅї®Я¬«ј бЅхбуїФС їЅї ¬б¬ pїјЯ¬бґ µїхpб 1, єЎб¬ "+" ј«ЄСФ їЎФСp»pСФїp«убФэЯґ ¬б¬ «»Сpбµїґ ЯЅ«ЄСЎїґ їЅї «»Сpбµїґ «нЫСсїЎСЎїґ јЎ«ЄСЯФу у єбуїЯїј«ЯФї «Ф ¬«ЎФС¬ЯФб. иїу«¬ ъ«Ѕ«у«®
ЯуСpХТ уЎїє «нЩюЎ« «н«єЎбюбСФ "дб", б »«¬бюїубЎїС - "мСФ", Ў« ЎС у« уЯСХ
ЯФpбЎбХ (у ь«Ѕъбpїї ї вpСµїї ЭФ« ЎС Фб¬). мб с«Я¬С «нЫґуЅСЎї® »« pбєјСЎТ
¬убpФїp ґ ТуїсСЅ «нЫґуЅСЎїС Я« ЯЅСсТЇЪїјї сбЎЎЩјї: "(2+2)=(3+1)", юФ«
«єЎбюбЅ« "оСЎґЇ суС суТХ¬«јЎбФЎЩХ Ўб ФpСХ¬«јЎбФЎТЇ ї «сЎ«¬«јЎбФЎТЇ",- ј«ЄЎ«
Ѕї нЩЅ« нЩ »pСс»«Ѕ«ЄїФэ Фб¬ТЇ їЎФСp»pСФбµїЇ ЭФїХ сбЎЎЩХ, Ўб»pїјСp, у
ТюСнЎї¬С »« бpїхјСФї¬С?
ШФї »pїјСpЩ »«¬бєЩубЇФ, юФ« їЎФСp»pСФбµїґ сбЎЎЩХ єбуїЯїФ «Ф јЎ«ъїХ с«»«ЅЎїФСЅэЎЩХ «нЫС¬ФїуЎЩХ хб¬Ф«p«у (у ЭФїХ »pїјСpбХ - ¬«ЎФС¬ЯФ, ЯФpбЎб, јСЯФ«), Ў« їЎФСp»pСФбµїґ ј«ЄСФ єбуїЯСФэ ї «Ф ЯТнЫС¬ФїуЎЩХ хб¬Ф«p«у. мб»pїјСp, «сїЎ ї Ф«Ф ЄС µуСФ юСЅ«уС¬ Я Ў«pјбЅэЎЩј єpСЎїСј у«Я»pїЎїјбСФ
«сЎїј «нpбє«ј, б сбЅэФ«Ўї¬ сpТъїј. ЕpїуСсСЎЎЩС »pїјСpЩ бЅэФСpЎбФїуЎ«® їЎФСp»pСФбµїї «сЎїХ ї ФСХ ЄС сбЎЎЩХ їЅЅЇЯФpїpТЇФ »«ЎґФїС »«Ѕїј«pхїєјб
(јЎ«ЄСЯФуСЎЎ«® їЎФСp»pСФбµїї), ¬«Ф«p«С у ¬«ЎСюЎ«ј ЯюСФС ї «»pСсСЅґСФ бнЯФpб¬ФЎЩ® Хбpб¬ФСp ЭФ«ъ« »p«µСЯЯб. мᬫЎСµ, СЪС «сїЎ убЄЎЩ® бЯ»С¬Ф їЎФСp»pСФбµїї. й ЅЇн«ј с«ЯФбФ«юЎ« н«ЅэЮ«ј
Ўбн«pС сбЎЎЩХ СЯФэ «Я«нЩС »«єїµїї (єЎб¬ї, ¬ЅЇюСуЩС ЯЅ«уб, »pїєЎб¬ї),
¬«Ф«pЩС Т»pбуЅґЇФ »p«µСЯЯ«ј їЎФСp»pСФбµїї ї »«Ф«јТ їјСЇФ «Я«н«С єЎбюСЎїС, у« јЎ«ъ«ј «»pСсСЅґЇЪСС µСЎЎ«ЯФэ ї убЄЎ«ЯФэ »«ЅТюбСј«® їЎх«pјбµїї. иЅбЯЯїюСЯ¬ї® »pїјСp: Я««нЪСЎїС "ибєЎїФэ ЎСЅэєґ, »«јїЅ«убФэ". Е«Ѕ«ЄСЎїС єб»ґФ«® у ЭФ«ј »pїјСpС (»СpСс ЯЅ«у«ј "ЎСЅэєґ" їЅї »«ЯЅС) pбсї¬бЅэЎ« јСЎґСФ їЎх«pјбµї«ЎЎ«С Я«сСpЄбЎїС сбЎЎЩХ. о«ЄЎ« Ѕї у ЭФ«ј «ФЎ«ЮСЎїї ЯpбуЎїФэ єб»ґФТЇ у ЭФ«ј Я««нЪСЎїї Я нТ¬у«® "Ў", Ўб»pїјСp? Е«ФСpґ їЅї їЯ¬бЄСЎїС
»«ЯЅСсЎС® ЅСъ¬« у«ЯЯФбЎбуЅїубСФЯґ »« ¬«ЎФС¬ЯФТ, »«ФСpґ єб»ґФ«® Яу«сїФ їЎх«pјбФїуЎ«ЯФэ Я««нЪСЎїґ у µСЅ«ј ¬ ЎТЅЇ. аЪС «сїЎ »pїјСp. д«»ТЯФїј, уЩ pбЯ»«ЅбъбСФС ЯЅСсТЇЪїј хpбъјСЎФ«ј ФбнЅїµЩ:

+-----------+-----------+-----------+------------+-------------+
| Ж«убp | жФбЎ«¬ | дpСЅэ | цpСєб | дуїъбФСЅэ |
+-----------+-----------+-----------+------------+-------------+
| жФ«їј«ЯФэ | 757,7 | 123 | 78,5 | 356 |
+-----------+-----------+-----------+------------+-------------+

PїЯ.1.1

Е«ФСpґ ЯЅ«уб "жФ«їј«ЯФэ" у« уФ«p«® ЯФp«¬С сСЅбСФ ЎСу«єј«ЄЎ«® »pбуїЅэЎТЇ їЎФСp»pСФбµїЇ юїЯЅ«у«ъ« јбФСpїбЅб уЯС® ФбнЅїµЩ, у Ф« уpСјґ ¬б¬ »«ФСpґ ЯЅ«уб
"Ж«убp" ЅСъ¬« у«ЯЯФбЎбуЅїубСФЯґ »« ¬«ЎФС¬ЯФТ.
Жб¬їј «нpбє«ј, сбЎЎЩС - ЭФ« Ўбн«p ЎС«сЎ«p«сЎЩХ ¬ЅЇюСуЩХ ЯЅ«у (»«єїµї®, єЎб¬«у ї Ф.».), ЎСЯТЪїХ їЎх«pјбµїЇ pбєЎ«® ЯФѻѡї µСЎЎ«ЯФї.

3. ц«pјб »pСсЯФбуЅСЎїґ сбЎЎЩХ.

ДЯЎ«уЎЩС уїсЩ у«Я»pїґФїґ сбЎЎЩХ юСЅ«уС¬«ј ЯуґєбЎЩ Я їЯ»«Ѕэє«убЎїСј єpїФСЅэЎЩХ «нpбє«у, Ф.С. «нpбє«у, у«Я»pїЎїјбСјЩХ Я »«ј«ЪэЇ єpСЎїґ. йЯС у«єpбЯФбЇЪСС єЎбюСЎїС їјССФ їЯ»«Ѕэє«убЎїС єуТ¬«уЩХ ї Фб¬ФїЅэЎЩХ «нpбє«у
(у«Я»pїЎїјбСјЩХ «ЯґєбЎїСј). Дн«ЎґЎїС ї у¬ТЯ у ЭФ«ј pґсТ ЯФ«ґФ Ўб »«ЯЅСсЎСј јСЯФС. зpїФСЅэЎЩС «нpбєЩ ЯТЪСЯФуТЇФ у суТХ «ЯЎ«уЎЩХ х«pјбХ: Яїју«ЅэЎ«® ї ъpбхїюСЯ¬«®. PбєТјССФЯґ, ¬бЄсбґ їє ЎїХ ј«ЄСФ їЯ»«Ѕэє«убФэ µуСФ. жїју«ЅэЎбґ х«pјб »pСсЯФбуЅСЎїґ сбЎЎЩХ ј«ЄСФ нЩФэ «»pСсСЅСЎб ¬б¬ ЎС¬«Ф«pЩ®
¬«ЎСюЎЩ® Ўбн«p їє«нpбЄбЇЪїХ єЎб¬«у. Жᬫ® Ўбн«p ЅСъ¬« »pСсЯФбуїФэ ЯСнС ¬б¬
Я«у«¬Т»Ў«ЯФэ ґЪї¬«у, Ўб ¬бЄс«ј їє ¬«Ф«pЩХ їє«нpбЄСЎ Я««ФуСФЯФуТЇЪї® єЎб¬ ї у ¬«Ф«p«ј ЅСЄїФ јЎ«ЄСЯФу« хїЮС¬ - ¬«»ї® ЭФ«ъ« єЎб¬б. ЖСpјїЎ "¬«ЎСюЎЩ®
Ўбн«p" «єЎбюбСФ єсСЯэ ¬«ЎСюЎ«С юїЯЅ« ґЪї¬«у,- Ўбн«p хїЮС¬ у ґЪї¬С ЎС
«ъpбЎїюСЎ. и«ЎЯФpТїp«убЎїС єpїФСЅэЎ«ъ« «нpбєб у Яїју«ЅэЎ«® х«pјС «ЯТЮСЯФуЅґСФЯґ »ТФСј pбєјСЪСЎїґ хїЮС¬ у «»pСсСЅСЎЎ«® »Ѕ«Я¬«® ¬ЅСФ«юЎ«® ЯФpТ¬ФТpС, - ЯФp«¬С,
ЯФ«ЅнµС, ¬ЅСФ«юЎ«ј »«ЅС, ¬p«ЯЯу«pсС, їъp«у«ј »«ЅС ї Ф.». й ¬бЄс«® ¬ЅСФ¬С
Фᬫ® ЯФpТ¬ФТpЩ ј«ЄСФ нЩФэ pбєјСЪСЎб Ф«Ѕэ¬« «сЎб хїЮ¬б Ўбн«pб.
PбєЎ«уїсЎ«ЯФэЇ Фᬫъ« ¬ЅСФ«юЎ«ъ« »«Ѕґ ґуЅґСФЯґ ї Э¬pбЎ ¬«ј»эЇФСpб, pбн«ФбЇЪСъ« у pСЄїјС уу«сб Яїју«ЅэЎЩХ сбЎЎЩХ. жїју«ЅэЎбґ х«pјб їјССФ јЎ«ЄСЯФу« pбєЎ«уїсЎ«ЯФС®, ЯpСсї ЎїХ Ўбїн«ЅСС pбЯ»p«ЯФpбЎСЎЩ ґєЩ¬«убґ ї ФбнЅїюЎбґ (»ЯСус«ъpбхїюСЯ¬бґ). fєЩ¬«убґ х«pјб «нЩюЎ« ЯуґєЩубСФЯґ Я »«ЎґФїСј бЅхбуїФб ¬б¬ Т»«pґс«юСЎЎ«ъ«
Ўбн«pб їє«нpбЄбЇЪїХ єЎб¬«у, Ўб «ЯЎ«уС ¬«Ф«p«ъ« ¬«ЎЯФpТїpТЇФЯґ хpбєЩ ґєЩ¬б
»ТФСј pбєјСЪСЎїґ їє«нpбЄбЇЪїХ хїЮС¬ у ЯФpТ¬ФТpС ЯФp«¬ї їЅї ЯФ«Ѕнµб. й «сЎїХ ґєЩ¬бХ ЯФp«¬б єб»«ЅЎґСФЯґ ЯЅСуб Ўб»pбу«, у сpТъїХ Я»pбуб ЎбЅСу« (їуpїФ,
Ўб»pїјСp), у ФpСФэїХ ЯуСpХТ уЎїє (»« ЯФ«ЅнµТ) ї ЯЅСуб Ўб»pбу« ї Ф.с.

ДФЎ«ЮСЎїґ »«pґс¬б у бЅхбуїФС у« јЎ«ъ«ј ТЯЅ«уЎЩ, юФ« ЎСpСс¬« »pїу«сїФ ¬
ЎС¬«Ф«pЩј ЯФpбЎЎ«ЯФґј. мб»pїјСp, ЯїЯФСјб їє«нpбЄбЇЪїХ єЎб¬«у (їСp«ъЅїх«у)
¬їФб®Я¬«ъ« ґєЩ¬б ЎС Т»«pґс«юСЎб, юФ« х«pјбЅэЎ« ЎС »«єу«ЅґСФ «ФЎСЯФї Съ« ¬ ґєЩ¬бј у««нЪС [ ]. Е«ЭФ«јТ у« јЎ«ъїХ ЯЅТюбґХ бЅхбуїФ pуЯЯјбФpїубЇФ ¬б¬
ЯїЎ«Ўїј »«ЎґФїЇ "Ўбн«p їє«нpбЄбЇЪїХ єЎб¬«у", »pСсЎбјСpСЎЎ« «»ТЯ¬бґ
«ФЎ«ЮСЎїґ »«pґс¬б у Фᬫј Ўбн«pС. й ЭФ«® Яуґєї «ФјСФїј, юФ« їЎ«ъсб ґєЩ¬«уТЇ х«pјТ ЎбєЩубЇФ ФС¬ЯФ«у«®, »pї
ЭФ«ј »«ЎґФїС "ФС¬ЯФ" у Юїp«¬«ј ЯјЩЯЅС ЎС ФpСнТСФ Ўї¬б¬їХ «ъpбЎїюСЎї® ЎС
Ф«Ѕэ¬« Ўб Ўбн«p їє«нpбЄбЇЪїХ єЎб¬«у, Ў« ї Ўб »pбуїЅб їЎФСp»pСФбµїї ФС¬ЯФб. пЇнбґ їЎх«pјбµїґ, »pСсЯФбуЅСЎЎбґ у Яїју«ЅэЎ«® х«pјС ј«ЄСФ pбЯЯјбФpїубФэЯґ
¬б¬ ФС¬ЯФ.

PбєТјССФЯґ, pбєЎЩС ґєЩ¬ї ј«ъТФ їјСФэ Я«уСpЮСЎЎ« pбєЎЩС бЅхбуїФЩ, »pїюСј бЅхбуїФ ґєЩ¬б ј«ЄСФ pбЯЮїpґФэЯґ »ТФСј ууСсСЎїґ у ЎСъ« Ў«уЩХ їє«нpбЄбЇЪїХ єЎб¬«у, їЎФСp»pСФїpТСјЩХ, Ўб»pїјСp, ¬б¬ єЎб¬ї »pС»їЎбЎїґ їЅї pСбЅїєТЇЪїХ
Ў«уЩС ЮpїхФЩ.
ЕpїјСp«у ґЩ¬«у «юСЎэ јЎ«ъ«: ¬p«јС СЯФСЯФуСЎЎЩХ ґєЩ¬«у (pТЯЯ¬ї®, бЎъЅї®Я¬ї® ї Ф.».) ЭФ« СЪС ї ґєЩ¬ї »pСсЯФбуЅСЎїґ юїЯСЅ (бpбнЯ¬їХ, pїјЯ¬їХ, сСЯґФїюЎЩХ, су«їюЎЩХ ї Ф.с.), ґєЩ¬ї х«pјТЅ (бЅъСнpбїюСЯ¬їХ, ХїјїюСЯ¬їХ ї Ф.с.), ґєЩ¬
«»їЯбЎїґ ЮбХјбФЎЩХ »бpФї®, ґєЩ¬ ЯФСЎ«ъpбхїї, ґєЩ¬ї »p«ъpбјјїp«убЎїґ ї Ф.с.
ЖбнЅїюЎбґ х«pјб ј«ЄСФ pбЯЯјбФpїубФэЯґ ¬б¬ Я»СµїхїюСЯ¬бґ pбєЎ«уїсЎ«ЯФэ ґєЩ¬«у«®, ¬«Ф«pбґ »«єу«ЅґСФ ¬«ЎЯФpТїp«убФэ pбєЎ«ъ« p«сб нЅбЎ¬ї, ФбнЅїµЩ,
«ФюСФЩ ї Ф.». й ЎСЯ¬«Ѕэ¬« Т»p«ЪСЎЎ«ј уїсС Ўбн«p їє«нpбЄбЇЪїХ єЎб¬«у сЅґ
¬«ЎЯФpТїp«убЎїґ ЭФ«® х«pјЩ у¬ЅЇюбСФ у ЯСнґ ЯЅСсТЇЪїС єЎб¬ї:

"|", "-", "+", "+", "+", "+", "+", "+", "+", "+", "+".

мб pїЯ 1.1. »pїуСсСЎ »pїјСp їЎх«pјбµї«ЎЎ«ъ« «нpбєб у ФбнЅїюЎ«® х«pјС,
»«ЯФp«СЎЎЩ® Я їЯ»«Ѕэє«убЎїСј ЭФ«ъ« Ўбн«pб єЎб¬«у, ґєЩ¬б »pСсЯФбуЅСЎїґ сСЯґФїюЎЩХ юїЯСЅ ї pТЯЯ¬«ъ« ґєЩ¬б. кЎ«ъсб ЯpСсЯФуб »pСсЯФбуЅСЎїґ їЎх«pјбµїї у ФбнЅїюЎ«® х«pјС ЎбєЩубЇФ ґєЩ¬бјї Фї»б "єб»«ЅЎї нЅбЎ¬". вpбхїюСЯ¬бґ х«pјб »pСсЯФбуЅСЎїґ їЎх«pјбµїї »pСЎµї»їбЅэЎ« «ФЅїюбСФЯґ «Ф
Яїју«ЅэЎ«® ФСј, юФ« у ЎС® їЯ»«ЅэєТСФЯґ СсїЎЯФуСЎЎЩ® уїс їє«нpбЄбЇЪСъ«
Яїју«Ѕб - Ф«ю¬б Ўб »Ѕ«Я¬«ЯФї, - уЯС їє«нpбЄСЎїґ «нЫС¬Ф«у ¬«ЎЯФpТїpТЇФЯґ їє
Ф«юС¬. пЇн«® єpїФСЅэЎЩ® «нpбє, »pСсЯФбуЅСЎЎЩ® у Яїју«ЅэЎ«® х«pјС, ј«ЄСФ нЩФэ »pСсЯФбуЅСЎ ї у ъpбхїюСЯ¬«® х«pјС, - «нpбФЎ«С у «нЪСј ЯЅТюбС ЎСуСpЎ«. й ЭФ«ј ЯјЩЯЅС ъpбхїюСЯ¬бґ х«pјб »pСсЯФбуЅСЎїґ сбЎЎЩХ н«ЅСС їЎх«pјбФїуЎб, їЅї, ¬б¬ ъ«у«pґФ, «нЅбсбСФ н«ЅэЮС® pбєpСЮбЇЪС® Я»«Я«нЎ«ЯФэЇ (н«ЅэЮС® їЎх«pјбµї«ЎЎ«® Сј¬«ЯФэЇ). Еpї ЭФ«ј pбєpСЮбЇЪТЇ Я»«Я«нЎ«ЯФэ х«pјЩ ЯЅСсТСФ
»«ЎїјбФэ ¬б¬ у«єј«ЄЎ«ЯФэ »pСсЯФбуЅСЎїґ pбєЅїюЎЩХ сбЎЎЩХ у СсїЎїµС їє«нpбЄбЇЪСъ« »«Ѕґ (Э¬pбЎб ¬«ј»эЇФСpб). аЯЅї »pїЎґФэ єб Фб¬ТЇ СсїЎїµТ «сЎТ
¬ЅСФ¬Т (Яј.уЩЮС), Ф« pбєpСЮбЇЪбґ Я»«Я«нЎ«ЯФэ нТсСФ «»pСсСЅґФэЯґ ¬«ЅїюСЯФу«ј у«єј«ЄЎЩХ їє«нpбЄСЎї® у ЭФ«® ¬ЅСФ¬С. дЅґ Яїју«ЅэЎ«® х«pјЩ - ЭФ« юїЯЅ« їє«нpбЄбЇЪїХ Яїју«Ѕ«у бЅхбуїФб, сЅґ ъpбхїюСЯ¬«® - ЭФ« юїЯЅ« ъ«pбєс« н«ЅэЮС.

мб»pїјСp, сЅґ юСpЎ«-нСЅ«ъ« їє«нpбЄСЎїґ ї pбєјСp«у ¬ЅСФ¬ї 8x8 (Ф«юС¬) юїЯЅ« уЯСХ у«єј«ЄЎЩХ їє«нpбЄСЎї® у ЎС® «»pСсСЅґСФЯґ уСЅїюїЎ«® 264.

й «ФсСЅэЎЩХ ЯЅТюбґХ »pї «»pСсСЅСЎЎ«ј Ўбн«pС їє«нpбЄбЇЪїХ Яїју«Ѕ«у
Яїју«ЅэЎбґ х«pјб »«єу«ЅґСФ »pСсЯФбуЅґФэ »p«ЯФЩС ъpбхїюСЯ¬їС «нpбєЩ. й юбЯФЎ«ЯФї, ¬«ЎФТpЩ ФбнЅїµЩ pїЯ.1.1. "»«Х«Єї Ўб ъpбхї¬Т". Е«ЭФ«јТ Фб¬їС
Я»СµїхїюСЯ¬їС уїсЩ Яїју«ЅэЎ«ъ« »pСсЯФбуЅСЎїґ сбЎЎЩХ ЎбєЩубЇФ
»ЯСус«ъpбхї¬«®, Х«Фґ Ўб Ябј«ј сСЅС ЎїюСъ« «нЪСъ« Я ъpбхї¬«® «Ўї ЎС їјСЇФ. иб¬ ъpбхїюСЯ¬бґ, Фб¬ ї Яїју«ЅэЎбґ х«pјб ј«ъТФ їЯ»«Ѕэє«убФэ µуСФ,- »pї ЭФ«ј їє«нpбЄбЇЪїС єЎб¬ї »pї«нpСФбЇФ с«»«ЅЎїФСЅэЎ«С ¬бюСЯФу« - їјСФэ µуСФ. ШФ«
«нЯФ«ґФСЅэЯФу« у «нЪСј ЯЅТюбС ЯТЪСЯФуСЎЎ« »«уЩЮбСФ їЎх«pјбµї«ЎЎТЇ Сј¬«ЯФэ єpїФСЅэЎЩХ «нpбє«у сЅґ ЅЇн«® х«pјЩ »pСсЯФбуЅСЎїґ сбЎЎЩХ. м« »pїјСЎїФСЅэЎ« ¬ ъpбхїюСЯ¬«® х«pјС Ўб ¬«ј»эЇФСpбХ Я Х«p«Юїјї сїЯ»ЅСґјї (Я уЩЯ«¬«® pбєpСЮбЇЪС® Я»«Я«нЎ«ЯФэЇ) µуСФЎ«ЯФэ «нСЯ»СюїубСФ ¬бюСЯФуСЎЎ« Ў«уЩС у«єј«ЄЎ«ЯФї «нpбн«Ф¬ї ъpбхїюСЯ¬«® їЎх«pјбµїї, - Ўб»pїјСp, Я«єсбЎїС ї сСј«ЎЯФpбµїґ µуСФЎЩХ уїсС«хїЅэј«у Ўб ¬«ј»эЇФСpС.
ДнЯТЄсбСјЩС х«pјЩ »pСсЯФбуЅСЎїґ сбЎЎЩХ »pСсЎбєЎбюСЎЩ сЅґ Я«єсбЎїґ їЎх«pјбµї«ЎЎЩХ єpїФСЅэЎЩХ «нpбє«у Ўб »Ѕ«Я¬«ЯФї ї Юїp«¬« їЯ»«ЅэєТЇФЯґ у
¬«ј»эЇФСpС, »«Я¬«Ѕэ¬Т Э¬pбЎ сїЯ»ЅСґ ј«ЄСФ pбЯЯјбФpїубФэЯґ ¬б¬ »Ѕ«Я¬бґ
»«уСpХЎ«ЯФэ. ДнЫСјЎЩС їє«нpбЄСЎїґ »pСсЯФбуЅґЇФЯґ «нЩюЎ« у »Ѕ«Я¬«® ъpбхїюСЯ¬«® х«pјС Ўб «ЯЎ«уС »СpЯ»С¬ФїуЩ, Я »«ј«ЪэЇ pбєЅїюЎЩХ ЯСюСЎї®,
»p«С¬µї®, јСФ«с«у »p«С¬ФїуЎ«® ъС«јСФpїї ї Ф.». кЯ»«Ѕэє«убЎїС Яїју«ЅэЎ«® ї ъpбхїюСЯ¬«® х«pј »pСсЯФбуЅСЎїґ сбЎЎЩХ «»pСсСЅґЇФ суб pбєЅїюЎЩХ pСЄїјб ¬«ј»эЇФСpб у єбсбюбХ «нpбн«Ф¬ї їЎх«pјбµїї. ШФї pСЄїјЩ pбєЅїюбЇФЯґ ЎС Ф«Ѕэ¬« »pСсЯФбуЅСЎїСј їЎх«pјбµїї Ўб Э¬pбЎС ј«ЎїФ«pб, Ў« ї у
»бјґФї ¬«ј»эЇФСpб ї Я««ФуСФЯФуСЎЎ« »p«ъpбјјЎЩјї ЯpСсЯФубјї, »«ссСpЄїубЇЪїјї
Ф«Ф їЅї їЎ«® pСЄїј. мб»pїјСp, Яїју«ЅэЎЩ® pСЄїј ЯуґєбЎ Я ХpбЎСЎїСј у »бјґФї
¬«ј»эЇФСpб Яїју«Ѕ«у, б ъpбхїюСЯ¬ї® - »ї¬ЯСЅ«у (їє«нpбЄбЇЪїХ Ф«юС¬), юФ« у
«нЪСј ЯЅТюбС ФpСнТСФ єЎбюїФСЅэЎ« н«ЅэЮСъ« «нЫСјб »бјґФї. (ЖСpјїЎ "pixel"
»p«їєуСсСЎ «Ф бЎъЅї®Я¬«ъ« "picture element" []). дЅґ Я«єсбЎїґ ї їєјСЎСЎїґ Яїју«ЅэЎЩХ «нpбє«у (pСсб¬Фїp«убЎїґ) їЯ»«ЅэєТЇФЯґ
»p«ъpбјјЩ, ¬«Ф«pЩС ЎбєЩубФ Яїју«ЅэЎЩјї pСсб¬Ф«pбјї (ФС¬ЯФ«уЩјї pСсб¬Ф«pбјї), б ъpбхїюСЯ¬їХ «нpбє«у - ъpбхїюСЯ¬їјї pСсб¬Ф«pбјї. мᬫЎСµ, Яїју«ЅэЎбґ ї ъpбхїюСЯ¬бґ х«pјб Юїp«¬« їЯ»«ЅэєТЇФЯґ ЎС Ф«Ѕэ¬« сЅґ
»pСсЯФбуЅСЎїґ єpїФСЅэЎЩХ «нpбє«у, Ў« Фб¬ЄС сЅґ єуТ¬«уЩХ ї Фб¬ФїЅэЎЩХ. мб»pїјСp, Ў«ФЎбґ єб»їЯэ ї ЯїЯФСјб х«ЎСј їЯ»«ЅэєТЇФЯґ сЅґ »pСсЯФбуЅСЎїґ ї
¬«ЎЯФpТїp«убЎїґ єуТ¬«уЩХ «нpбє«у, б бєнТ¬б п.ьpб®Ѕґ - сЅґ »pСсЯФбуЅСЎїґ
Фб¬ФїЅэЎЩХ «нpбє«у, у«Я»pїЎїјбСјЩХ «ЯґєбЎїСј.

ЗєнТ¬б п.ьpб®Ѕґ - ЭФ« pСЅэСхЎ«-Ф«юСюЎЩ® ЮpїхФ сЅґ юФСЎїґ ЯЅС»ЩХ. й «ЯЎ«уС
Фᬫъ« ЮpїхФб ЅСЄїФ ¬«јнїЎбµїґ їє 6 Ф«юС¬, сбЇЪбґ у«єј«ЄЎ«ЯФэ «н«єЎбюбФэ нТ¬уЩ, µїхpЩ, єЎб¬ї »pС»їЎбЎїґ, јбФСјбФїюСЯ¬їС, ХїјїюСЯ¬їС ї Ў«ФЎЩС єЎб¬ї.

4. тpбЎСЎїС, ¬«сїp«убЎїС ї »pС«нpбє«убЎїС сбЎЎЩХ. тpбЎСЎїС їЎх«pјбµїї у »бјґФї Шйо - «сЎб їє «ЯЎ«уЎЩХ хТЎ¬µї® ¬«ј»эЇФСpб. пЇнбґ їЎх«pјбµїґ ХpбЎїФЯґ Я їЯ»«Ѕэє«убЎїСј «Я«н«® Яїју«ЅэЎ«® х«pјЩ, ¬«Ф«pбґ їЯ»«ЅэєТСФ нїЎбpЎЩ® (су«їюЎЩ®) Ўбн«p їє«нpбЄбЇЪїХ єЎб¬«у: (0 ї 1). йЩн«p
Фᬫ® х«pјЩ «»pСсСЅґСФЯґ pСбЅїєбµїС® б»»бpбФТpЩ Шйо (ЭЅС¬Фp«ЎЎЩјї ЯХСјбјї),
Я«ЯФбуЅґЇЪїјї ЯХСј«ФСХЎї¬Т ¬«ј»эЇФСpб, у «ЯЎ«уС ¬«Ф«p«® ЅСЄїФ їЯ»«Ѕэє«убЎїС су«їюЎ«ъ« ЭЅСјСЎФб ХpбЎСЎїґ сбЎЎЩХ. Жᬫ® ЭЅСјСЎФ (ФpїъъСp) їјССФ суб
ТЯФ«®юїуЩХ Я«ЯФ«ґЎїґ, ТЯЅ«уЎ« «н«єЎбюбСјЩХ ¬б¬ 1 (СсїЎїµб) ї 0 (Ў«Ѕэ), ї
Я»«Я«нСЎ ХpбЎїФэ јїЎїјбЅэЎТЇ »«pµїЇ їЎх«pјбµїї, ЎбєЩубСјТЇ нїФ (ЭФ«Ф ФСpјїЎ
»p«їєуСсСЎ «Ф бЎъЅї®Я¬«ъ« "binary digit" - су«їюЎбґ µїхpб).
Е«ЎґФїС нїФб ¬б¬ јїЎїјбЅэЎ«® СсїЎїµЩ їЎх«pјбµїї ЅСъ¬« їЅЅЇЯФpїpТСФЯґ
»p«ЯФЩј »pїјСp«ј. д«»ТЯФїј, йЩ єбсбСФС Я«нСЯСсЎї¬Т у«»p«Я "йЅбсССФС Ѕї йЩ
¬«ј»эЇФСpЎ«® ъpбј«ФЎ«ЯФэЇ?", єбpбЎСС Ф«юЎ« єЎбґ, юФ« «Ў «ФуСФїФ "дб".
Е«ЅТюбСФС Ѕї йЩ »pї ЭФ«ј, ¬б¬ТЇ Ѕїн« їЎх«pјбµїЇ? мСФ, йЩ «ЯФбСФСЯэ »pї
Яу«їХ єЎбЎїґХ, б йбЮ у«»p«Я у ЭФ«® ЯїФТбµїї Ѕїн« ЅїЮСЎ уЯґ¬«ъ« ЯјЩЯЅб, Ѕїн«
«ФЎ«ЯїФЯґ ¬ pїФ«pїюСЯ¬їј. жїФТбµїґ јСЎґСФЯґ, СЯЅї йЩ єбсбСФС Ф«Ф ЄС у«»p«Я у «ЄїсбЎїї »«ЅТюїФэ «сїЎ їє суТХ у«єј«ЄЎЩХ «ФуСФ«у: "дб" їЅї "мСФ". збсбубґ у«»p«Я, йЩ ЎС уЅбсССФС
Ўї¬б¬«® їЎх«pјбµїС®, Ф.С. ЎбХ«сїФСЯэ у Я«ЯФ«ґЎїї »«ЅЎ«® ЎС«»pСсСЅСЎЎ«ЯФї.
Е«ЅТюбґ «ФуСФ, йЩ ТЯФpбЎґСФС ЭФТ ЎС«»pСсСЅСЎЎ«ЯФэ ї, ЯЅСс«убФСЅэЎ«,
»«ЅТюбСФС їЎх«pјбµїЇ. Жб¬їј «нpбє«ј, су«їюЎЩ® Ўбн«p у«єј«ЄЎЩХ «ФуСФ«у,
ЎСЯТЪїХ їЎх«pјбµїЇ, ґуЅґСФЯґ јїЎїјбЅэЎЩј. жЅСс«убФСЅэЎ«, «Ў «»pСсСЅґСФ јїЎїјбЅэЎ« у«єј«ЄЎТЇ »«pµїЇ »«ЅТюбСј«® їЎх«pјбµїї. дуб нїФб ЎСЯТФ їЎх«pјбµїЇ, с«ЯФбФ«юЎТЇ сЅґ ТЯФpбЎСЎїґ ЎС«»pСсСЅСЎЎ«ЯФї, єб¬ЅЇюбЇЪС®Яґ у суТХ у«»p«ЯбХ »pї су«їюЎ«® ЯїЯФСјС «ФуСФ«у ї Ф.с.
ЕpС«нpбє«убЎїС їЎх«pјбµїї їє ЅЇн«® »pїуЩюЎ«® Ўбј х«pјЩ (СЯФСЯФуСЎЎ«® х«pјЩ) у х«pјТ ХpбЎСЎїґ сбЎЎЩХ у ¬«ј»эЇФСpС (¬«с«уТЇ х«pјТ) ЯуґєбЎ« Я »p«µСЯЯ«ј
¬«сїp«убЎїґ. й «нЪСј ЯЅТюбС ЭФ«Ф »p«µСЯЯ »СpСХ«сб «Ф СЯФСЯФуСЎЎ«® х«pјЩ ¬
¬«с«у«® «ЯЎ«убЎ Ўб їєјСЎСЎїї Ўбн«pб їє«нpбЄбЇЪїХ єЎб¬«у (бЅхбуїФб). мб»pїјСp, ЅЇн«® їє«нpбЄбЇЪї® єЎб¬ СЯФСЯФуСЎЎ«® х«pјЩ (Яїју«Ѕ) ХpбЎїФЯґ у
»бјґФї Шйо у уїсС ¬«с«у«® ¬«јнїЎбµїї їє 8-јї нїФ, Я«у«¬Т»Ў«ЯФэ ¬«Ф«pЩХ
«нpбєТСФ нб®Ф - «ЯЎ«уЎ«® ЭЅСјСЎФ ХpбЎСЎїґ сбЎЎЩХ у ¬«ј»эЇФСpС.
ДнpбФЎЩ® »p«µСЯЯ »СpСХ«сб «Ф ¬«с«у«® х«pјЩ ¬ СЯФСЯФуСЎЎ«® ЎбєЩубСФЯґ сС¬«сїp«убЎїСј. мбн«p »pбуїЅ ¬«сїp«убЎїґ ї сС¬«сїp«убЎїґ «»pСсСЅґСФ ¬«с«уТЇ х«pјТ »pСсЯФбуЅСЎїґ сбЎЎЩХ їЅї »p«ЯФ« ¬«с. (PбєТјССФЯґ, »p«µСЯЯЩ
¬«сїp«убЎїґ ї сС¬«сїp«убЎїґ у ¬«ј»эЇФСpС «ЯТЪСЯФуЅґЇФЯґ буФ«јбФїюСЯ¬ї нСє
ТюбЯФїґ ¬«ЎСюЎ«ъ« »«Ѕэє«убФСЅґ).
ДсЎї ї ФС ЄС сбЎЎЩС ј«ъТФ нЩФэ »pСсЯФбуЅСЎЩ у ¬«ј»эЇФСpС у pбєЅїюЎЩХ ¬«сбХ ї Я««ФуСФЯФуСЎЎ« »« pбєЎ«јТ їЎФСp»pСФїp«убЎЩ їЯ»«ЅЎїФСЅэЎ«® ЯїЯФСј«®
¬«ј»эЇФСpб.

мб»pїјСp, Яїју«Ѕ "1" (СсїЎїµб) ј«ЄСФ нЩФэ »pСсЯФбуЅСЎ у єЎб¬«у«®
(Яїју«ЅэЎ«®) ¬«с«у«® х«pјС, ј«ЄСФ нЩФэ »pСсЯФбуЅСЎ ¬б¬ µСЅ«С юїЯЅ« Я« єЎб¬«ј (+1) у ¬«сС µСЅЩХ юїЯСЅ, ¬б¬ »«Ѕ«ЄїФСЅэЎ«С µСЅ«С нСє єЎб¬б у ¬«сС
¬бpсїЎбЅэЎЩХ юїЯСЅ, ¬б¬ уСЪСЯФуСЎЎ«С юїЯЅ« (1.) у ¬«сС уСЪСЯФуСЎЎЩХ юїЯСЅ,
¬б¬ ЭЅСјСЎФ Ѕ«ъїюСЯ¬«® їЎх«pјбµїї (Ѕ«ъїюСЯ¬бґ СсїЎїµб - "їЯФїЎб") у ¬«сС
»pСсЯФбуЅСЎїґ Ѕ«ъїюСЯ¬їХ сбЎЎЩХ. Еpї ЭФ«ј ЅЇн«С їє Фб¬їХ ¬«с«уЩХ
»pСсЯФбуЅСЎї® ЯуґєбЎ«
ЎС Ф«Ѕэ¬« Я Я«нЯФуСЎЎЩј уїс«ј їЎФСp»pСФбµїї, Ў« ї Я pбєЅїюЎЩјї ¬«с«уЩјї
¬«јнїЎбµїґјї, ¬«сїpТЇЪїјї СсїЎїµТ.

и«сїp«убЎїС ї ХpбЎСЎїС сбЎЎЩХ у ¬«ј»эЇФСpС с«ЅЄЎ« «нСЯ»СюїубФэ ЎС Ф«Ѕэ¬«
ЎбсСЄЎ«С сС¬«сїp«убЎїС, Ў« ї єбЪїФТ їЎх«pјбµїї «Ф pбєЎ«ъ« p«сб Ян«Су,
»«јСХ, уїpТЯ«у, ЎСЯбЎ¬µї«Ўїp«убЎЎ«ъ« с«ЯФТ»б ї Ф.».

Е«јСХ«ТЯФ«®юїу«С ¬«сїp«убЎїС ЯуґєбЎ« «нЩюЎ« Я ууСсСЎїСј у ¬«с«уЩС
¬«јнїЎбµїї су«їюЎЩХ Яїју«Ѕ«у їєнЩФ«юЎ«® їЎх«pјбµїї, ЎС«нХ«сїј«® сЅґ
«нЎбpТЄСЎїґ Ян«Су. и«ј»эЇФСpЎЩС уїpТЯЩ - »«јСХї їЯ¬ТЯЯФуСЎЎ«® »pїp«сЩ, Я«єсбубСјЩС їє«ЪpСЎЎЩјї "ЮТФЎї¬бјї"-»p«ъpбјјїЯФбјї. ШФї уїpТЯЩ »«»бсбЇФ у »СpЯ«ЎбЅэЎЩС
¬«ј»эЇФСpЩ «нЩюЎ« юСpСє уЎСЮЎїС Ў«ЯїФСЅї (сїЯ¬СФЩ), ј«ъТФ »p«ґуЅґФэЯґ у
Я«уСpЮСЎЎ« ЎС»pСсЯ¬бєТСјЩХ ЯїФТбµїґХ ї Я»«Я«нЎЩ »pїЎСЯФї јбЯЯТ
ЎС»pїґФЎ«ЯФС® у»Ѕ«Фэ с« »«ЅЎ«® »«ФСpї уЯС® їЎх«pјбµїї, Я«ХpбЎґСј«® у
¬«ј»эЇФСpС. пТюЮї® Я»«Я«н н«pэнЩ Я Фб¬їјї уїpТЯбјї Ўб »СpЯ«ЎбЅэЎ«® Шйо - ЎС їЯ»«Ѕэє«убФэ Я«јЎїФСЅэЎЩС сїЯ¬СФЩ. аЯЅї ¬«ј»эЇФСp ТЄС "єбpбЄСЎ", ЯЅСсТСФ
«нpбФїФэЯґ ¬ "с«¬Ф«pТ" - Я»СµїбЅэЎ«® »p«ъpбјјС «нЎбpТЄСЎїґ ї ТЯФpбЎСЎїґ уїpТЯ«у (ЎС ¬бЄсЩ® їє уїpТЯ«у ТЯФpбЎїј!). ДЯ«нТЇ «»бЯЎ«ЯФэ уїpТЯЩ
»pСсЯФбуЅґЇФ у ¬«ј»эЇФСpЎЩХ ЯСФґХ,- єсСЯэ н«pэнб Я Ўїјї »СpСpбЯФбСФ у
«ФсСЅэЎТЇ »p«нЅСјТ. оСФ«сЩ »pСс«ФуpбЪСЎїґ ЎСЯбЎ¬µї«Ўїp«убЎЎ«ъ« с«ЯФТ»б ¬ ¬«ј»эЇФСpЎ«® їЎх«pјбµїї їјСЇФ »pґј«С «ФЎ«ЮСЎїС ¬ ¬pї»Ф«ъpбхїї - ЎбТ¬С «н «pъбЎїєбµїї
Юїхp«у. оСФ«сЩ »pС«нpбє«убЎїґ їЎх«pјбµїї їє «сЎ«® х«pјЩ у сpТъТЇ сСЅґФЯґ Ўб суС н«ЅэЮїС ¬бФСъ«pїї: «нpбФїјЩС ї ЎС«нpбФїјЩС.
ДнpбФїјЩјЩС »pС«нpбє«убЎїґ »«єу«ЅґЇФ »pС«нpбє«убФэ сбЎЎЩС їє «сЎ«® х«pјЩ у сpТъТЇ, Я«ХpбЎґґ у«єј«ЄЎ«ЯФэ Я«уСpЮїФэ «нpбФЎ«С »pС«нpбє«убЎїС Я ъбpбЎФїС®
»«ЅТюСЎїґ »«ЅЎ«ъ« Я«у»бсСЎїґ Я їЯХ«сЎЩјї сбЎЎЩјї. аЯЅї Фᬫ® ъбpбЎФїї ЎСФ ї
ЯТЪСЯФуТСФ уСp«ґФЎ«ЯФэ ЎСЯ«у»бсСЎїґ їЯХ«сЎЩХ сбЎЎЩХ Я »«ЅТюСЎЎЩјї »«ЯЅС
«нpбФЎ«ъ« »pС«нpбє«убЎїґ, їјССФ јСЯФ« уЅїґЎїС јСЮбЇЪїХ хб¬Ф«p«у - »«јСХ їЅї
«Юїн«¬. ЕpС«нpбє«убЎїґ Я »«јСХбјї уЯСъсб ЯуґєбЎЩ Я їЎх«pјбµї«ЎЎЩјї
»«ФСpґјї.

мб»pїјСp, буФ«pТ їєуСЯФСЎ ЯЅТюб®, ¬«ъсб хбјїЅїґ їєуСЯФЎ«ъ« Я«уСФЯ¬«ъ« јбФСјбФї¬б З.f.тїЎюїЎб нЩЅб »СpСуСсСЎб Ўб бЎъЅї®Я¬ї® ґєЩ¬ ¬б¬ Khinchine, б
«нpбФЎЩ® »СpСу«с Ўб pТЯЯ¬ї® »pїуСЅ ¬ "»«ґуЅСЎїЇ" Ў«у«ъ« ТюСЎ«ъ« Я јїp«уЩј їјСЎСј »« хбјїЅїї иїЎ-щб®Ў. Е«-уїсїј«јТ, ¬їФб®µб. мС«нpбФїјЩС »pС«нpбє«убЎїґ Хбpб¬ФСpїєТЇФЯґ ЎСу«єј«ЄЎ«ЯФэЇ «нpбФЎ«ъ«
»pС«нpбє«убЎїґ ї у«ЯЯФбЎ«уЅСЎїґ їЯХ«сЎЩХ сбЎЎЩХ. ЕpїјСp«ј ЎС«нpбФїјЩХ
»pС«нpбє«убЎї® ј«ЄСФ ЯЅТЄїФэ ЯФбФїЯФїюСЯ¬ї® бЎбЅїє ї, у юбЯФЎ«ЯФї,
»«ЯФp«СЎїС ъїЯФ«ъpбјј.

д«»ТЯФїј, юФ« їЯХ«сЎЩС сбЎЎЩС «нpбєТЇФ ЄТpЎбЅ єб»їЯї б¬Ф«у ъpбЄсбЎЯ¬«ъ«
Я«ЯФ«ґЎїґ (зЗвж), - ¬бЄсбґ Фб¬бґ єб»їЯэ Я«сСpЄїФ сбЎЎЩС « »СpЯ«ЎбЅэЎЩХ сбФбХ p«ЄсСЎїґ ї ЯјСpФї ъpбЄсбЎ єб «»pСсСЅСЎЎЩ® »Сpї«с уpСјСЎї (Ўб»pїјСp, єб ъ«с). жФбФїЯФїюСЯ¬ї® бЎбЅїє Фᬫъ« ЄТpЎбЅб Я µСЅэЇ «»pСсСЅСЎїґ
Я««ФЎ«ЮСЎїґ јСЄсТ p«ЄсбСј«ЯФэЇ ї ЯјСpФЎ«ЯФэЇ ЯуґєбЎ Я »«ЯФp«СЎїСј ъїЯФ«ъpбјјЩ, у ¬«Ф«p«® хїъТpїpТЇФ Ф«Ѕэ¬« суб »бpбјСФpб: «нЪСС юїЯЅ« p«ЄсСЎї® єб уЩнpбЎЎЩ® »Сpї«с уpСјСЎї (p«ЄсбСј«ЯФэ) ї «нЪСС ¬«ЅїюСЯФу«
ЯјСpФС® єб Ф«Ф ЄС »Сpї«с (ЯјСpФЎ«ЯФэ). ШФ«Ф бЎбЅїє »pїу«сїФ ¬ »«ЯФp«СЎїЇ ъїЯФ«ъpбјјЩ, ¬«Ф«pбґ ј«ЄСФ їјСФэ ЯЅСсТЇЪї® уїс:

+-------------+