Системы с ожиданием

| Категория реферата: Рефераты по информатике, программированию
| Теги реферата: реферат статус, особенности реферата
| Добавил(а) на сайт: Kolenko.

В момент t система находилась в состоянии Ek+1 , за время h новых требований не поступило, но одно требование было обслужено. Вероятность этого равна

Все остальные мыслимые возможности перехода в состояние Ek за промежуток времени h имеют вероятность, равную 0(h).

Собрав воедино найденные вероятности, получаем следующее равенство:

Несложные преобразования приводят нас к такому уравнению для 1 £ k < m:

(4)

Подобные же рассуждения для k ³ m приводят к уравнению

`(5)

Для определения вероятностей Pk(t) мы получили бесконечную систему дифференциальных уравнений (2)-(5). Ее решение представляет несомненные технические трудности.

3. Определение стационарного решения.

В теории массового обслуживания обычно изучают лишь установившееся решение для t ® ¥ . Существование таких решений устанавливается так называемыми эргодическими теоремами, некоторые из них позднее будут нами установлены. В рассматриваемой задаче оказывается, что предельные или, как говорят обычно, стационарные вероятности существуют. Введем для них обозначения Pk . Заметим дополнительно, (этого мы также сейчас не станем доказывать), что при t® ¥ .

Сказанное позволяет заключить, что уравнения (3), (4) и (5) для стационарных вероятностей принимают следующий вид:

(6)

при 1 £ k <

(7)

при k ³

(8)

К этим уравнениям добавляется нормирующее условие

(9)

Для решения полученной бесконечной алгебраической системы введем обозначения: при 1£ k< m

при k ³ m

Система уравнений (6)-(8) в этих обозначениях принимает такой вид:

z1=0, zk-zk+1=0 при k ³

Отсюда заключается, что при всех k ³ 1 zk =0

т.е. при 1 £ k <

km Pk=l Pk-1(10)

и при k ³ mmm Pk=l Pk-1(11)

Введем для удобства записи обозначение

r =l /m .

Уравнение (10) позволяет заключить, что при 1 £ k <

(12)

При k ³ m из уравнения (11) находим, что

и следовательно, при k ³ m

(13)

Остается найти P0. Для этого в (9) подставляем выражения Pk из (12) и (13). В результате

Так бесконечная сумма, стоящая в квадратных скобках, находится только при условии, что

r < m(14)

то при этом положении находим равенство

(15)

Если условие (14) не выполнено, т.е. если r ³ m, то ряд, стоящий в квадратной скобке уравнения для определения P0 , расходится и, значит, P0 должно быть равно 0. Но при этом, как следует из (12) и (13), при всех k ³ 1 оказывается Pk =0.

Методы теории цепей Маркова позволяют заключить, что при r ³ m с течением времени очередь стремится к ¥ по вероятности.

4. Некоторые подготовительные результаты.

Во введении мы уже говорили, что для задачи с ожиданием основной характеристикой качества обслуживания является длительность ожидания требованием начала обслуживания. Длительность ожидания представляет собой случайную величину, которую обозначим буквой g . Рассмотрим сейчас только задачу определения распределения вероятностей длительности ожидания в уже установившемся процессе обслуживания. Обозначим далее через P{ g > t} вероятность того, что длительность ожидания превзойдет t, и через Pk{ g > t} вероятность неравенства, указанного в скобке, при условии, что в момент поступления требования, в очереди уже находится k требований. В силу формулы полной вероятности имеем равенство

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: классификация реферат, бесплатные банки рефератов.