Диспут и формула Кардано

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: мировая экономика, выборы реферат
| Добавил(а) на сайт: Сюсин.

[pic].
(Произведение кубических радикалов в последнем равенстве должно равняться p
).
Это и есть знаменитая формула Кардано. Если перейти от y вновь к x, то получим формулу, определяющую корень общего уравнения 3-й степени.

Молодой человек, так безжалостно обошедшийся с Тарталья, разбирался в математике столь же легко, как и в правах неприхотливой тайны. Феррари находит способ решения уравнения 4-й степени. Кардано поместил этот способ в свою книгу. Что же представляет собой этот способ?

Пусть [pic] (1)
– общее уравнение 4-й степени.
Если положить [pic], то уравнение (1) можно привести к виду

[pic], (2) где p,q,r – некоторые коэффициенты, зависящие от a,b,c,d,e. Легко видеть, что это уравнение можно записать в таком виде:

[pic] (3)

В самом деле, достаточно раскрыть скобки, тогда все члены, содержащие t, взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению (2).

Выберем параметр t так ,чтобы правая часть уравнения (3) была полным квадратом относительно y. Как известно, необходимым и достаточным условием этого является обращение в нуль дискриминанта из коэффициентов трехчлена
(относительно y), стоящего справа:

[pic] (4)
Получили полное кубическое уравнение, которое мы уже можем решить. Найдем какой либо его корень и внесем его в уравнение (3), теперь примет вид

[pic].

Отсюда

[pic].
Это квадратное уравнение. Решая его, можно найти корень уравнения(2), а следовательно и (1).

За 4 месяца до смерти Кардано закончил свою автобиографию, которою он напряженно писал весь последний год и которая должна была подвести итог его сложной жизни. Он чувствовал приближение смерти. По некоторым сведениям его собственный гороскоп связывал его кончину с 75- летием. Он умер 21сентября
1576г. за 2 дня до годовщины. Имеется версия, что он покончил с собой в ожидании неминуемой смерти или даже чтобы подтвердить гороскоп. В любом случае Кардано – астролог относился к гороскопу серьезно.

Замечание о формуле Кардано

Проанализируем формулу для решения уравнения[pic] в вещественной области.
Итак,
[pic]
При вычислении x нам приходится извлекать в начале квадратный корень, а затем кубический. Мы сможем извлечь квадратный корень, оставаясь в вещественной области, если [pic]. Два значения квадратного корня, отличающихся знаком, фигурируют в разных слагаемых для x. Значения кубического корня в вещественной области единственно и получается единственный вещественный корень x при [pic]. Исследуя график кубического трехчлена [pic],нетрудно убедиться, что он в самом деле имеет единственный вещественный корень при [pic]. При [pic] имеется три вещественных корня.
При [pic] имеется двукратный вещественный корень и однократный, а при [pic]
-трехкратный корень x=0.

Продолжим исследование формулы при [pic]. Оказывается. Что если при этом уравнение с целыми коэффициентами имеет целочисленный корень, при вычислении его по формуле могут возникнуть промежуточные иррациональности.
Например, уравнение [pic] имеет единственный корень (вещественный) – x=1.
Формула Кардано дает для этого единственного вещественного корня выражение

[pic].
Значит,

[pic]. Но фактически любое доказательство предполагает использование того, что это выражение является корнем уравнения [pic]. Если же не угадать того, при преобразовании будут возникать неистребимые кубические радикалы.

О проблеме Кардано – Тартальи вскоре забыли. Формулу для решения кубического уравнения связали с «Великим искусством» и постепенно стали называть формулой Кардано.

У многих возникало желание восстановить истинную картину событий в ситуации, когда их участники несомненно не говорили всей правды. Для многих было важно установить степень вины Кардано. К концу XIX века часть дискуссий стала носить характер серьезных историко-математических исследований. Математики поняли, какую большую роль в конце XVI века сыграли работы Кардано. Стало ясно то, что еще раньше отмечал Лейбниц:
«Кардано был великим человеком при всех его недостатках; без них он был бы совершенством».