Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

Найти минимальное значение линейной функции Z = 2x1 + x2 + 5x3 при ограничениях

x1 – x2 – x3 ( 4,

x1 – 5x2 + x3 ( 5, xj ( 0 (j = 1, 2, 3).

2x1 – x2 + 3x3 (6,

Рассматриваемая задача относится к симметричным двойственным задачам на отыскание минимального значения линейной функции. Для того чтобы было можно записать двойственную задачу, ее модель должна иметь вид (3). Переход осуществляется умножением первого неравенства на -1.

Исходная задача:

Zmin = 2x1 + x2 + 5x3 при ограничениях

-x1 + x2 + x3 ( -4,

x1 – 5x2 + x3 ( 5, xj ( 0 (j = 1, 2, 3).

2x1 – x2 + 3x3 (6,

Двойственная задача: fmin = -4x1 + 5x2 + 6x3 при ограничениях

-y1 + y2 + 2y3 ( 2,

y1 – 5y2 - y3 ( 1, yi ( 0 (i = 1, 2, 3).

2y1 + y2 + 3y3 ( 5,

Приведем без доказательства следующую теорему. Теорема 1.1. Если при подстановке компонент оптимального плана в систему ограничений исходной задачи i-e ограничение обращается в неравенство, то i-я компонента оптимального плана двойственной задачи равна нулю.

Если i-я компонента оптимального плана двойственной задачи положительна, то i-e ограничение исходной задачи удовлетворяется ее оптимальным решением как строгое равенство.

5. Двойственный симплексный метод

В п. 2 и п. 3 настоящего параграфа было показано, что для получения решения исходной задачи можно перейти к двойственной и используя оценки ее оптимального плана, определить оптимальное решение исходной задачи.

Переход к двойственной задаче не обязателен, так как если рассмотреть первую симплексную таблицу с единичным дополнительным базисом, то легко заметить, что в столбцах записана исходная задача, а в строках - двойственная. Причем оценками плана исходной задачи являются Сj а оценками плана двойственной задачи – bi. Решим "двойственную задачу по симплексной таблице, в которой записана исходная задача; найдем оптимальный план двойственной задачи, а вместе с ним и оптимальный план исходной задачи.
Этот метод носит название двойственного симплексного метода,

Пусть необходимо решить исходную задачу линейного программирования, поставленную в общем виде: минимизировать функцию Z =СХ при АХ = A0, Х ( 0.
Тогда в двойственной задаче необходимо максимизировать функцию f = YA0 при
YA ( С. Допустим, что выбран такой базис D = (A1, А2, ..., Аi, ..., Аm), при котором хотя бы одна из компонент вектора Х = D-1 A0 = (x1, x2, ..., xi, ..., xm) отрицательная (например, xi < 0), но для всех векторов Aj выполняется соотношение Zj – Cj ( 0 (i = 1,2, ..., n). Тогда на основании теоремы двойственности Y = Сбаз D-1 - план двойственной задачи. Этот план не оптимальный, так как, с одной стороны, при выбранном базисе X содержит отрицательную компоненту и не является планом исходной задачи, а с другой стороны, оценки оптимального плана двойственной задачи должны быть неотрицательными.

Таким образом, вектор Аi, соответствующий компоненте xi < 0, следует исключить из базиса исходной задачи, а вектор, соответствующий отрицательной оценке,— включить в базис двойственной задачи.

Для выбора вектора, включаемого в базис исходной задачи, просматриваем i-ю строку: если в ней не содержатся xij < 0, то линейная функция двойственной задачи не ограничена на многограннике решений, а исходная задача не имеет решений. Если же некоторые xij < 0, то для столбцов, содержащих эти отрицательные значения, вычисляем (0j= min (xi/xij) ( 0 и определяем вектор, соответствующий max (0j(Zj — Cj) при решении исходной задачи на минимум и min (0j(Zj — Cj) при решении исходной задачи на максимум. Этот вектор и включаем в базис исходной задачи. Вектор, который необходимо исключить из базиса исходной задачи, определяется направляющей строкой.

Если (0j= min (xi/xij) = 0, т. е. xi = 0, то xij берется за разрешающий элемент только в том случае, если xij > 0. Такой выбор разрешающего элемента на данном этапе не приводит к увеличению количества отрицательных компонент вектора X. Процесс продолжаем до получения Х ( 0; при этом находим оптимальный план двойственной задачи, следовательно, и оптимальный план исходной задачи.

В процессе вычислений по алгоритму двойственного симплексного метода условие Zj – Cj ( 0 можно не учитывать до исключения всех хi < 0, затем оптимальный план находится обычным симплексным методом. Это удобно использовать, если все хi < 0; тогда для перехода к плану исходной, задачи за одну итерацию необходимо (0j определить не по минимуму, а по максимуму отношений, т. е. (0j= max (xi/xij) > 0.

Двойственным симплексным методом можно решать задачи линейного программирования, системы ограничений которых при положительном базисе содержат свободные члены любого знака. Этот метод позволяет уменьшить количество преобразований системы ограничений, а также размеры симплексной таблицы.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат на тему закон, учет реферат.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата