Предыдущая страница реферата | 1  2  3 | Следующая страница реферата

Определим в условиях этой задачи вероятность того, что при трёх бросках в сумме выпало 4 очка. Выпишем благоприятные исходы: “1,1,2”, “1,2,1”, “2,1,1”. Вероятность каждого из этих исходов равна 1/216. Так как все эти исходы несовместимы, интересующая нас вероятность будет равна 3/216=1/72.

Пример 4. Из колоды карт в 32 листа извлекается одна карта. Пусть А – событие, состоящее в том, что извлечённая карта – дама. Событие В состоит в том, что извлечённая карта пиковой масти. Очевидно, что Р(А)=4/32=1/8. Вычислим величину вероятность того, что извлечённая карта –дама при условии, что эта карта пиковой масти, то есть Р(А/В). Очевидно, что Р(АÇВ)=1/32, и Р(В)=8/32. Тогда Р(А/В)=Р(АÇВ)/ Р(В)=1/8, то есть Р(А)=Р(А/В). Отсюда следует, что события А и В независимы.

Пусть событие С заключается в том, что извлечённая карта не туз. Покажем, что события А и С зависимы. Очевидно, что Р(АÇС)=Р(А)=1/8. Р(С)=28/32=7/8. Отсюда получаем Р(А/С)=1/7, и это не равно величине Р(А), следовательно, события А и С зависимы.

Пример 5. Рассмотрим задачу, аналогичную задаче из примера 2, но с одним дополнительным условием: вытащив первый шар, запоминаем его цвет и возвращаем шар в урну, после чего все шары перемешиваем. В данном случае результат второго извлечения никак не зависит от того, какой шар – черный или белый появился при первом извлечении. Вероятность появления первым белого шара (событие А) равна 7/10. Вероятность события В – появления вторым черного шара – равна 3/10. Теперь формула умножения вероятностей дает: P(АÇВ)=21/100.

Извлечение шаров способом, описанным в этом примере, называется выборкой с возвращением или возвратной выборкой.

Следует отметить, что если в двух последних примерах положить изначальные количества белых и черных шаров равными соответственно 7000 и 3000, то результаты расчетов тех же вероятностей будут отличаться пренебрежимо мало для возвратной и безвозвратной выборок.

Рассмотрим некоторые задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.

1. Три стрелка стреляют в мишень. Каждый попадает в мишень или не попадает в мишень независимо от результатов выстрелов остальных стрелков. Первый стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,8, а третий – с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена?

Вопрос можно поставить иначе: какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадёт в мишень? Очевидно, что мишень будет поражена, если все трое попадут в мишень, если в мишень попадут любые двое стрелков, а третий не попадёт и т. д. Пусть событие А состоит в том, что хотя бы один из стрелков попал в мишень. Тогда противоположное событие  заключается в том, что все трое не попали в мишень. Если первый не попадает в мишень с вероятностью 0,1, второй – с вероятностью 0,2, а третий – с вероятностью 0,3, то по теореме умножения вероятностей Р()=0,1×0,2×0,3=0,006. Тогда Р(А)=1–Р()=0,994.

2. При включении двигатель начинает работать с вероятностью р. а) Найти вероятность того, что двигатель начнёт работать с второго включения. б) Найти вероятность того, что для запуска двигателя потребуется не более двух включений.

а) Для того, чтобы двигатель начал работать со второго включения, нужно, во-первых, чтобы он не запустился при первом включении (событие А). Это происходит с вероятностью 1–р. При втором включении двигатель запустится (событие В) с вероятностью р. Нас интересует вероятность события АÇВ. Из условия задачи можно понять, что события А и В независимы. Отсюда P(АÇВ)=р(1–р).

б) Нас интересует вероятность события, состоящего в том, что двигатель запустится при первом включении или при втором включении. Противоположное событие заключается в том, что двигатель не запустится ни при первом, н при втором включении. Вероятность этого противоположного события равна (1–р)2. Отсюда вероятность интересующего нас события равна 1–(1–р)2.

3. В семье Ивановых 4 ребёнка. Известно, что один из детей – мальчик. Найти вероятность того, что все дети –мальчики. Принять вероятность рождения мальчика и вероятность рождения девочки равными 1/2 и не зависящими от того, какого пола дети уже имеются в семье.

Пусть событие В состоит в том, что все дети в семье – мальчики, событие А состоит в том, что в семье есть хотя бы один мальчик (именно так мы должны понимать условие задачи). Нас интересует величина Р(В/А). Для того, чтобы воспользоваться формулой условной вероятности, надо, во-первых, вычислить P(АÇВ). В нашем случае событие А является следствием события В, поэтому P(АÇВ)=Р(В) (смотри объяснение к теме 2). По условию задачи Р(В)=(1/2)4=1/16. Чтобы вычислить Р(А), заметим, что событие  состоит в том, что все дети в семье –девочки. Очевидно, что Р()=(1/2)4=1/16. Тогда Р(А)=1–Р()=15/16. Теперь можно воспользоваться формулой для определения условной вероятности Р(В/А) = P(АÇВ)/Р(А). В результате получается Р(В/А)=(1/16)/( 15/16)=1/15.

Если бы в условии этой задачи был поставлен вопрос “чему равна вероятность того, что все дети мальчики, при условии, что второй ребёнок – мальчик?”, то ответ был бы 1/8.

4. В урне 7 белых и три чёрных шара. Без возвращения извлекаются 3 шара. Известно, что среди них есть чёрный шар. Найти вероятность того, что другие два шара белые.

Пусть событие А состоит в том, что в выборке есть два белых шара, событие В – в том, что в выборке есть чёрный шар. Всего в условии задачи существует  возможных исходов. Отсюда Р(АÇВ)=. Чтобы вычислить вероятность Р(В), заметим, что  состоит в том, что все извлечённые шары белые, и Р()=. Искомая вероятность равна ()/(1–)=63/85.

5. Найти вероятность того, что при бросании трёх игральных костей хотя бы на одной выпадет 6 очков при условии, что на всех костях выпали грани с чётным числом очков.

Пусть событие А состоит в том, что хотя бы на одной кости выпало 6 очков, а событие В–в том, что на всех костях выпало чётное число очков. Вычислим вероятность события АÇВ. Общее число исходов, очевидно равно 63=216. Одним из благоприятных исходов является выпадение 6-ти очков на всех трёх костях. Имеется 6 исходов, состоящих в выпадении шестёрок на двух костях и выпадении чётного числа очков, но не шестёрки на третьей кости. Можно насчитать 12 исходов, когда на одной кости выпадает шестёрка, а на двух других–чётные числа очков, но не шестёрки. Таким образом, событию АÇВ благоприятствуют 19 исходов, откуда Р(АÇВ)=19/216. Очевидно, что Р(В)=(1/2)3=1/8. Искомая вероятность равна (19/216)/(1/8)=19/27.

6. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачёт сдан, если студент ответит не менее чем на 3 из 4-х вопросов в билете. Взглянув на первый вопрос, студент обнаружил, что знает его. Какова вероятность, что студент сдаст зачёт?

Пусть А – событие, заключающееся в том, что студент сдал экзамен;

В – событие, заключающееся в том, что студент знает первый вопрос в билете.

Очевидно, что Р(В) =20/25=4/5. Теперь необходимо определить вероятность Р(АÇВ). Из 25-ти вопросов всего можно составить  различных билетов, содержащих 4 вопроса. Все билеты, выбор которых удовлетворял бы и событию А и событию В, должны быть составлены следующим образом: либо студент знает все вопросы билета (можно составить всего  таких билетов), либо студент знает первый, второй и третий вопросы, но не знает четвёртого (можно составить всего 5 таких билетов), либо студент знает первый, второй и четвёртый вопросы, но не знает третьего (тоже 5 билетов), либо студент знает первый, третий и четвёртый вопросы, но не знает второго (тоже 5 билетов). Отсюда получаем, что

   Р(АÇВ) =

Осталось только найти искомую вероятность р(А/В):

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: диплом управление, бесплатные тесты.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3 | Следующая страница реферата