Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

IV. Перпендикулярность. Углы. Расстояния.

До сих пор мы, по существу, нигде не пользовались такими важными геометрическими понятиями, как расстояния и углы. Даже в нашем кубе нам достаточно было только того, что его грани- параллелограммы, равенства всех их сторон и углов на самом деле не требовалось. Чтобы иметь возможность изучать свойства куба и других пространственных фигур во всей полноте, нужны соответствующие определения. Прежде всего, расширим понятие перпендикулярности, известное из планиметрии.

Если прямая пересекает плоскость в этой плоскости, проходящей через точку Р, то говорят , что данные прямая и плоскость перпендикулярны.

Например, ясно, что ребро АА№ нашего куба перпендикулярно основанию
АВСD. Но как проверить, что это ребро действительно перпендикулярно любой прямой, лежащей в основе и проходящей через А? Оказывается, достаточно того, что АА№ составляет прямые углы с двумя из них – АВ и АD: согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости,

. Если прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и b, то она перпендикулярна плоскости, содержащей a и b.

Причём здесь не обязательно предполагать, что прямые a и b пересекают l: считают, что скрещивающиеся прямые перпендикулярны, если перпендикулярны параллельные им прямые, проходящие через произвольно взятую точку, в частности через точку пересечения l с плоскостью. Так что теперь можно сказать, что прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой лежащей в этой плоскости прямой. Справедлива такая теорема:

. Через данную точку в пространстве можно провести одну и только одну плоскость, перпендикулярную данной прямой, а также одну и только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.

Параллельная проекция на плоскость вдоль перпендикулярной ей прямой называется ортогональной (т. е. прямоугольной) проекцией на данную плоскость. Обычно, когда говорят просто «проекция», имеют в виду именно ортогональную проекцию. Она обладает всеми общими свойствами параллельной проекции. Но у неё есть и специфические свойства, их можно использовать при решении задач о расстояниях и углах в пространстве.

Из признака перпендикулярности прямой и плоскости выводится очень простая, но важная теорема о трёх перпендикулярах (рис. 11):

. Наклонная a к плоскости перпендикулярна к прямой l в этой плоскости тогда, когда её проекция а№ на плоскость перпендикулярна l.

Наклонной к плоскости называют любую пересекающую её, но не перпендикулярную ей прямую. Оба условия в этой теореме равносильны тому, что плоскость, содержащая а и а', перпендикулярна прямой /.

Применим обе теоремы к кубу (рис. 11). Проекция АС его диагонали АC№ на основание перпендикулярна диагонали основания BD; по теореме о трёх перпендикулярах, и сама диагональ АС№ перпендикулярна BD. По такой же причине перпендикулярны АС№ и А№В. Отсюда следует, что диагональ перпендикулярна «треугольному сечению» A№BD.

В стереометрии помимо обычных плоских

углов приходится иметь дело ещё с тремя видами углов. Угол между скрещи- вающимися прямыми, по определению, равен углу между пересекающимися прямыми, которые им параллельны. Угол между прямой а и плоскостью о. равен углу между прямой а и её проекцией а' на плоскость (рис. 10), а если прямая и плоскость перпендикулярны, его принимают равным 90°. Это наименьший из углов между прямой а и любой прямой в плоскости а. Угол между пересекающимися плоскостями измеряется углом между перпендикулярами, проведёнными в этих плоскостях к линии их пересечения (рис. 13). Все названные углы принимают значения в промежутке от 0 до 90°.

Найдём, например, угол между диагоналями А№В и В№С граней нашего куба
(рис. 14). Заменим прямую В№С на параллельную ей диагональ A№D противоположной грани; искомый угол равен углу BA№D, т. е. 60° (треугольник
BA№D равносторонний). Угол между диагональю АС№ и основанием куба равен углу САС№ между прл* мой ас№ и её проекцией АС на основание, т.е. arctg
(C№C/AC) = arctg (1/?2]. А угол между плоскостями BDA№ и BDC№ (рис. 14) равен углу А№МС№, где М — середина BD, так как прямые МА№ и МС№ лежат в этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения BD (несложное вычисление даёт arccos (1/3)).

Расстоянием между двумя любыми фигурами называют наименьшую длину отрезка, концы которого принадлежат данным фигурам. Значит, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, — он короче любой наклонной, так как гипотенуза прямоугольного треугольника короче катета. Расстояние между параллельными плоскостями, очевидно, равно расстоянию от любой точки в одной из них до другой плоскости (рис. 15, а).

Более интересен вопрос о расстоянии между двумя скрещивающимися прямыми а и b. Проведём через прямую а плоскость ?, параллельную прямой b
(рис. 15, б), найдем точку пересечения А ортогональной проекции b№ прямой b на ? и точку В прямой b, которая проектируется в точку А. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости а и потому является общим перпендикуляром к прямым а и b. Его длина и равна расстоянию между нашими скрещивающимися прямыми.

Вместо того чтобы вычислять расстояния и углы в пространстве, часто можно находить соответствующие величины на ортогональной проекции данной фигуры. На рис. 15 показаны .те интересные ортогональные проекции куба '„' ребром длины и: прямоугольник размером а * а?2 (проекция на диагональную плоскость АСС№А№ или, что то же, вдоль диагонали BD основания): и правильный шестиугольник со стороной а?2/3
(проекция вдоль диагонали куба АС№; мы видели, что прямая АС№ перпендикулярна плоскости BDA№, а потому правильный треугольник BDA, со стороной а?2 в такой проекции не искажается). С помощью первой проекции можно найти, например, угол между плоскостями BDA№ и BDC№ — он равен углу между красными прямыми, в которые проектируются эти плоскости. А расстояние r между двумя скрещивающимися диагоналями граней BD и В№С равно расстоянию на рис. 16, а от точки В до прямой В№С (В и B№C — изображения первой и второй диагоналей соответственно). Подумайте почему. (Здесь важно, что общий перпендикуляр диагоналей параллелен плоскости проекции.) Легко найти, что r= а/?3. Нетрудно вычислить на той же проекции и расстояние между прямыми BD и АС№ Ещё проще найти его с помощью рис. 16, б, на котором АС№ превращается в точку: расстояние от последней — центра шестиугольника — до
BD равно половине стороны шестиугольника, т. е. а/?6.

Отметим интересное соотношение, связывающее площадь фигуры, площадь её проекции и угол между плоскостями:

. Площадь Sпр ортогональной проекцией многоугольника равна площади

S многоугольника, умноженной на cos ?, где ?- угол между его плоскостью и плоскостью проекции:

Это очевидно для треугольника, одна из сторон которого совпадает с линией пересечения двух плоскостей (рис. 17) или параллельна ей. А любой многоугольник можно разбить на такие треугольники. Приближая криволинейные фигуры многоу-гольниками, получим, что формула площади проекции справедлива и для них.
V. Несколько задач на построение, вооброжение, изображение и соображение.

ЗАДАЧА 1.
По правилам черчения принято изображать пунктиром ребра многоугольника, расположенные на его обратной стороне. Некоторый многоугольник спереди и сверху выглядит одинаково, как показано на рис 18. Пунктиров на изображении нет- значит нет и невидимых ребер. Как предмет выглядит сбоку?

ЗАДАЧА 2.
Может ли рисунок 19 служить изображением многогранника с тремя четырехугольными гранями и двумя треугольными?

ЗАДАЧА 3.
На рисунке 20 изображена треугольная пирамида, в которой проведены два отрезка, соединяющие точку на противоположных ребрах. Можно ли по рисунку определить, пересекаются эти отрезки в пространстве или нет? А если можно, то как?

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспект на тему, доклад по английскому.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата