Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5 | Следующая страница реферата

(-e3, -e2, e1) (-e2, e1, -e3) = (e3, -e1, -e2).

(-e1, -e2, -e3) (-e1, -e3, e2) = (e1, e3, -e2).

(-e2, -e1, e3) (-e3, -e2, e1) = (e2, e3, e1).

Из рассмотренных упражнений следует, что умножение двух четных символов дает четный символ (упр. 1), умножение двух нечетных символов - четный символ (упр. 3, 5), умножение четного и нечетного - нечетный символ (упр. 2, 4). Из упражнений 3, 4, 5 ясно, что по-прежнему, как и при умножении символов из двух векторов, четность числа минусов в произведении совпадает с четностью числа суммы минусов сомножителей.

Выясним теперь, разрешима ли группа симметрий куба (G3)?

Коммутатор [ab] есть результат умножения четырех сомножителей aba-1b-1. Поэтому в силу предыдущих замечаний и следствий, вытекающих из упражнений, любой коммутатор группы симметрий куба задается четным символом (таких три), имеющим четное число минусов (либо два, либо ни одного). Вычисление показывает, что коммутант группы симметрий куба состоит из следующих преобразований:

(e1, e2, e3), (e3, e1, e2), (e2, e3, e1),

(e1, -e2, -e3), (e3, -e1, -e2), (e2, -e3, -e1),

(-e1, e2, -e3), (-e3, e1, -e2), (-e2, e3, -e1),

(-e1, -e2, e3), (-e3, -e1, e2), (-e2, -e3, e1).

Табл. 2

Найдем коммутант от полученного коммутанта ().

Элементы первой строки табл. 2 образуют коммутативную группу поворотов вокруг оси DB1, поэтому все коммутаторы группы без учета знаков сводятся к единице (e1, e2, e3). С учетом же знаков коммутаторами будут преобразования первого столбца табл.2 (число минусов коммутатора может быть по-прежнему только четно):

(e1, e2, e3), (e1, -e2, -e3), (-e1, e2, -e3), (-e1, -e2, e3).

Эти четыре элемента образуют коммутативную группу с таблицей умножения такой же, как у группы Клейна (K4) (табл. 1). Таким образом, коммутантом группы является коммутативная группа Клейна, а ее коммутант есть единица. Так как последовательность коммутантов группы приводит к единице:

  = e,

то группа симметрий куба разрешима.

Аналогично тому, как от квадрата (двумерного куба) мы перешли к трехмерному кубу, можно от трехмерного куба перейти к четырехмерному и пятимерному. Представить эти фигуры трудно, но можно дать им следующее описание. Три взаимно-перпендикулярных вектора, отложенных от центра трехмерного куба, задают прямоугольную систему координат Oxyz (рис. 5) трехмерного пространства. Координаты восьми вершин куба в этой системе координат есть наборы троек чисел вида: ( 1,  1,  1). В четырехмерном пространстве система координат содержит четыре взаимно-перпендикулярных вектора (e1, e2, e3, e4). Тогда четырехмерный куб можно задать 16-ью вершинами с координатами ( 1,  1,  1,  1). Аналогично можно получить пятимерный куб. Тогда движения этих кубов можно также задать символами из четырех и пяти векторов:

( ei,  ej,  ek,  et);

i, j, k, t = 1, 2, 3, 4;

i j k t; j t i k;

( ei,  ej,  ek,  et,  ep);

i, j, k, t, p = 1, 2, 3, 4, 5;

i j k t p; j t i k p; i p j.

Если рассмотреть группы симметрий четырехмерного куба (G4) и пятимерного куба (G5), то проводя аналогичные рассуждения, можно доказать, что группа G4 разрешима, а группа G5 - не разрешима.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: тема здоровый образ жизни реферат, шпоры по философии.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5 | Следующая страница реферата