Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: рефераты бесплатно, банки курсовая работа
| Добавил(а) на сайт: Шведов.

Легко видеть, что (здесь C-v, K-v- это конусы, центрально симметричные конусам Cv и Kv относительно точки v). В самом деле, для любой точки , имеем (семейство задает порядок в An). Поэтому для , f(v) = u0 имеем и . Если же то и . Это противоречит тому, что . Значит для любой точки .

Отметим теперь следующее: каждое множество Dx содержит Cx, а каждое множество D-x- содержит конус C-x. Далее, поскольку Kx, K-x- выпуклые конусы с острой вершиной, то существует гиперплоскость Tx такая, что , , где , - полупространства, на которые Tx разбивает An. Утверждается, что в качестве Tx можно выбрать такую гиперплоскость, которая пересекает конус Cy, по компактному множеству. Известно, что по отношению к замкнутому однородному выпуклому телесному конусу Ce с острой вершиной все гиперплоскости, имеющие с непустое пересечение, можно разделить на три непересекающихся класса. К первому классу A1 отнесем все гиперплоскости, пересекающие по компактному множеству. Во второй класс A2 попадут гиперплоскости, имеющие с некомпактное пересечение и параллельные при этом какой-либо прямолинейной образующей конуса Ce, принадлежащей его границе . Все остальные гиперплоскости будут принадлежать к третьему классу A3. Нетрудно видеть, что вышеупомянутая гиперплоскость Tx не может быть параллельна какой-либо гиперплоскости из класса A3. Это следует из того, что , а и также , , что противоречит выбору Tx.

Если же Tx параллельна гиперплоскости из класса A2, то и , что также противоречит выбору Tx. Значит Tx параллельна некоторой гиперплоскости из класса A1. Итак, пусть - эта та самая гиперплоскость, о которой идет речь выше, то есть Te параллельна гиперплоскости Tv из класса A1 и разбивает An на два полупространства и такие, что , . Очевидно, что в этом случае найдется гиперплоскость Ty0, параллельная Te, такая, что и множество - компактно. Если теперь точка , то . Поскольку и порядок - гранично однородный, то для любой точки будет верно следующее:

Действительно, вследствие граничной однородности порядка для любых точек найдется такой, что f(p0) = q0 и, значит, f(D)-p0 = D-f(p0) = D-q0. Но , поэтому и, следовательно, .

Покажем теперь, что наш порядок будет максимально линейчатым, то есть для любой точки имеем . Предположим, что это не так и найдется точка такая, что луч не лежит полностью в Qe, то есть .

Если , то есть луч l+x0, за исключением точки x0 лежит вне Qe, поступим следующим образом: Пусть , точка, которая вместе с некоторым шаром с центром в точке v0 положительного радиуса лежит в . Точка , значит найдется такое, что шар имеет непустое пересечение с int Q. Выберем точку . Нетрудно видеть, что для прямой lm, проходящей через точку m и параллельной лучу l+x0 число точек пересечения с уже наверняка больше двух: первая точка лежит на отрезке [m1, m), где , вторая точка лежит на отрезке (m, m2), где , так как , , . В этом случае в качестве точки x0 возьмем любую точку из множества .

Пусть точка . Тогда по доказанному выше (см. ()), но, поскольку , множество содержат, кроме точки w0 еще и точку x0, что, очевидно, противоречит (). Значит порядок - максимально линейчатый и в соответствии с результатами Э.Б.Винберга [2] и А.К.Гуца [3] любой порядковый -автоморфизм будет аффинным преобразованием.

Теорема доказана.

Следствие. Пусть , n>2, - несвязный порядок в An, о котором идет речь в теореме и, кроме того, семейство внешних конусов порядка является семейством равных и параллельных эллиптических конусов.

Тогда любой порядковый -автоморфизм будет преобразованием Лоренца.

Список литературы

Гуц А.К. Аксиоматическая теория относительности // Успехи мат. наук. 1982. Т. 37. N 2. C. 39-79.

Винберг Э.Б. Строение группы автоморфизмов однородного выпуклого конуса // Труды ММО. 1965. Т.13. С.56-83.

Гуц А.К. Порядковые и пространственно-временные структуры на однородных многообразиях : Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск: Ин-т мат. СО РАН, 1987. 203 с.