Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: реферат на тему деятельность, реферат беларусь
| Добавил(а) на сайт: Федосеев.

(8)

Подставив ( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем :
Подставляя в ( 5) и выражая f(Z0) имеем :

(9)

Это интеграл Коши.
Интеграл, стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической функции f(?) в некоторой точке Z0 через ее значение на произвольном контуре
? , лежащем в области аналитичности функции f(?) и содержащем точку Z0 внутри.
Очевидно, что если бы функция f(?) была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы ? в формуле (9) можно было использовать контур С.
Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G.

Следствие : Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z0 на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z0 принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно (9), а если т. Z0 принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю :
При Z0 ? Г указанный интеграл не существует.

Интегралы, зависящие от параметра.

Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2- х комплексных переменных : переменной интегрирования ? и Z0. Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z0.
Пусть задана функция двух комплексных переменных ? (Z, ? ), причем Z= x + iy в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. ?= ?+ i? ?
С. (С - граница G).
Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция ? (Z, ? ) удовлетворяет условиям : 1) Функция для всех значений ? ? С является аналитической в области G. 2) Функция ? (Z, ? ) и ее производная ??/?? являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и ? при произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных предположениях :
Интеграл существует и является функцией комплексной переменной. Справедлива формула :

[pic] (2)

Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру.

ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и непрерывной в области G (G включая граничные точки ), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z) причем для ее вычисления имеет место формула :

(3)

С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные рассуждения, которые привели к ее выводу.

ТЕОРЕМА МОРЕРА. Пусть f(Z) непрерывна в односвязной области G и интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему G равен
0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G. Эта теорема обобщается и на случай многосвязной области G.

Разложение функции комплексного переменного в ряды.

Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными
(до n-го порядка ), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора :
[pic]
Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z) непрерывная вместе с производными до n-го порядка, то:
[pic] (2) – разложение в ряд Тейлора.

Формула (2) записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z0 | ? .

Формулы ЭЙЛЕРА.
Применим разложение (3) положив, что Z = ix и Z= - ix;
[pic]
[pic]
[pic] (6)
Аналогично взяв Z = - ix получим :
[pic] (7)
Из (6) и (7) можно выразить т.н. формулы Эйлера :
[pic] (8)
В общем случае :
[pic] (9)
Известно, что :
[pic] (10)
Тогда из (9) и (10) вытекает связь между тригонометрическими и гиперболическими косинусами и синусами:
[pic]

Ряд ЛОРАНА.
Пусть функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге радиусом R, тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд другим путем.
ТЕОРЕМА 1.
[pic]
Однозначная функция f(Z) аналитическая в круге радиусом |Z-Z0| < R раскладывается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням Z-Z0.
Опишем в круге радиусом R окружность r, принадлежащую кругу с радиусом R.
Возьмем в круге радиуса r точку Z, а на границе области точку ? , тогда f(z) будет аналитична внутри круга с радиусом r и на его границе.
Выполняется условие для существования интеграла Коши :
[pic]

(13)
[pic] (11)
Поскольку
[pic], то выражение [pic] можно представить как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем [pic], т.е. :
[pic][pic]
[pic] (12)
Представим равномерно сходящимся рядом в круге радиуса r, умножая (12) на
1/(2?i) и интегрируя по L при фиксированном Z, получим : слева интеграл
(13) который равен f (Z), а справа будет сумма интегралов :
[pic]

Обозначая [pic], получим : [pic] (14)
Это разложение функции f (Z) в круге R в ряд Тейлора. Сравнивая (14) с рядом (2) находим, что [pic]

(15)

ТЕОРЕМА 2.
Если однозначная функция f(Z) аналитична вне круга с радиусом r с центром в точке Z0 для всех Z выполняется неравенство r < |Z-Z0 |, то она представляется рядом :
[pic]
(16) где h - ориентированная против часовой стрелки окружность радиуса r (сколь угодно большое число). Если обозначить [pic] (17) , получим :
[pic] (18)

ТЕОРЕМА 3.
Если однозначная функция f(Z) аналитическая в кольце Z< |Z-Z0 |