Какие гипотезы можно проверять с помощью двухвыборочного критерия Вилкоксона? 

              Установлено, что двухвыборочный критерий Вилкоксона  (Манна-Уитни) предназначен для проверки гипотезы H0 :  P(X < Y) = 1/2, где X - случайная величина, распределенная как элементы первой выборки, а Y - второй. Разобраны три примера.

  В прикладной математической статистике часто рассматривают вероятностную модель двух независимых выборок числовых результатов наблюдений. Первая выборка описывается набором m случайных величин X1, X2, ... , Xm, имеющих одну и ту же функцию распределения F(x), а вторая выборка - набором n случайных величин Y1, Y2, ... , Yn, имеющих одну и ту же функцию распределения G(x), причем все эти m+n случайных величин X1, X2, ... , Xm, Y1, Y2, ... , Yn  независимы в совокупности. Без ограничения общности можно считать, что m # n, в противном случае выборки можно поменять местами.  Обычно предполагается, что функции F(x) и G(x) непрерывны и строго возрастают. Из непрерывности этих функций следует, что с вероятностью 1  все m+n результатов наблюдений различны. В реальных статистических данных иногда встречаются совпадения, но сам факт их наличия - свидетельство нарушений предпосылок только что описанной базовой математической модели.

  Статистика S двухвыборочного критерия Вилкоксона  определяется следующим образом. Все элементы объединенной выборки X1, X2, ..., Xm, Y1, Y2, ... , Yn упорядочиваются в порядке возрастания. Элементы первой выборки X1, X2, ..., Xm занимают в общем вариационном ряду места с номерами R1, R2, ..., Rm, другими словами, имеют ранги R1, R2..., Rm . Тогда

S = R1 + R2 + ... + Rm  .

  Статистика U Манна-Уитни определяется как число пар (Xi, Yj) таких, что Xi < Yj , среди всех mn пар, в которых первый элемент - из первой выборки, а второй - из второй. Как известно [1, с.160],

U = mn + m(m+1)/2 - S .

Поскольку S и U линейно связаны, то часто говорят о критерии Вилкоксона (Манна-Уитни). Не будем обсуждать здесь вопросы истории и терминологии, относящиеся к S и U.

  Критерий Вилкоксона - один из самых известных инструментов непараметрической статистики (наряду со статистиками типа Колмогорова-Смирнова и коэффициентами ранговой корреляции). Свойствам этого критерия и таблицам его критических значений уделяется место во многих монографиях по математической и прикладной статистике (см., например, [1-3]).

  Однако в литературе имеются и неточные утверждения относительно возможностей критерия Вилкоксона. Так, одни полагают, что с его помощью можно обнаружить различие между  функциями распределения F(x) и G(x). По мнению других, этот критерий нацелен на проверку равенства медиан распределений, соответствующих выборкам. И то, и другое, строго говоря, неверно. Настоящая статья написана, чтобы внести ясность в рассматриваемый вопрос.

  Ссылки на публикации с неточными и ошибочными утверждениями не приводим по нескольким причинам. Во-первых, таких публикаций слишком много. Во-вторых, некоторые из них после исключения ошибок представляют ценность для практически работающего статистика. В-третьих, зачем создавать рекламу плохим книгам. И т.п.

  Введем некоторые обозначения. Пусть F-1(t) - функция, обратная к функции распределения F(x). Она определена на отрезке [0;1]. Положим L(t) = G(F-1(t)). Поскольку F(x) непрерывна и строго возрастает, то F-1(t) и L(t) обладают теми же свойствами. Важную роль в дальнейшем изложении будет играть величина a =  P(X < Y) . Как нетрудно показать,

 a =  P(X < Y) =    .

Введем также

b2 =    - (1 -a)2 ,   g2 =    - a2  .

Тогда математические ожидания и дисперсии статистик Вилкоксона и Манна-Уитни согласно [1, с.160] выражаются через введенные величины:

E(U) = mna , E(S) = mn + m(m+1)/2 - E(U) = mn(1- a) + m(m+1)/2,

D(S) = D(U) = mn [ (n - 1) b2  + (m - 1) g2  + a(1 -a) ]     . (1) 

  Когда объемы обеих выборок безгранично растут, распределения статистик Вилкоксона и Манна-Уитни являются асимптотически нормальными (см., например, [1, гл.5 и 6]) с параметрами, задаваемыми формулами (1) .  

  Если выборки полностью однородны, т.е. их функции распределения совпадают, справедлива гипотеза

H0:    F(x) = G(x) при всех x,     (2)

то L(t) = t и a= 1/2. Подставляя в формулы (1), получаем, что

E(S) =  m(m+n+1)/2,   D(S) =  mn(m+n+1)/ 12   (3) .

Следовательно, распределение нормированной и центрированной статистики Вилкоксона

T = ( S - m(m+n+1)/2) (mn(m+n+1)/ 12 ) - 1/2   (4)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: контрольная работа 1, доклад.





1  2  3  4 | Следующая страница реферата