Абстрактная теория групп

1. Понятие абстрактной группы.

1.Понятие алгебраической операции.

Говорят, что на множестве X определена алгебраическая операция
((), если каждой упорядоченной паре элементов [pic] поставлен в соответствие некоторый элемент [pic] называемый их произведением.
Примеры.
1. Композиция перемещений на множествах [pic] является алгебраической операцией.
2. Композиция подстановок является алгебраической операцией на множестве
[pic] всех подстановок степени n.
3. Алгебраическими операциями будут и обычные операции сложения, вычитания и умножения на множествах [pic] соответственно целых, вещественных и комплексных чисел. Операция деления не будет алгебраической операцией на этих множествах, поскольку частное [pic] не определено при [pic]. Однако на множествах [pic], [pic] это будет алгебраическая операция.
4. Сложение векторов является алгебраической операцией на множестве [pic].
5. Векторное произведение будет алгебраической операцией на множестве
[pic].
6. Умножение матриц будет алгебраической операцией на множестве всех квадратных матриц данного порядка.
2.Свойства алгебраических операций.
1. Операция (*) называется ассоциативной, если [pic].
Это свойство выполняется во всех приведенных выше примерах, за исключением операций вычитания ( и деления) и операции векторного умножения векторов.
Наличие свойства ассоциативности позволяет определить произведение любого конечного множества элементов. Например, если [pic], [pic]. В частности можно определить степени с натуральным показателем: [pic]. При этом имеют место обычные законы: [pic], [pic].
2. Операция (*) называется коммутативной, если [pic]

В приведенных выше примерах операция коммутативна в примерах 3 и 4 и не коммутативна в остальных случаях. Отметим, что для коммутативной операции
[pic]
3. Элемент [pic] называется нейтральным для алгебраической операции (*) на множестве X, если [pic]. В примерах 1-6 нейтральными элементами будут соответственно тождественное перемещение, тождественная перестановка, числа 0 и 1 для сложения и умножения соответственно (для вычитания нейтральный элемент отсутствует !), нулевой вектор, единичная матрица.
Для векторного произведения нейтральный элемент отсутствует.

Отметим, что нейтральный элемент (если он существует) определен однозначно. В самом деле, если [pic] - нейтральные элементы, то [pic]. Наличие нейтрального элемента позволяет определить степень с нулевым показателем: [pic].
4. Допустим, что для операции (*) на X существует нейтральный элемент.
Элемент [pic] называется обратным для элемента [pic], если [pic].
Отметим, что по определению [pic]. Все перемещения обратимы также как и все подстановки. Относительно операции сложения все числа обратимы, а относительно умножения обратимы все числа, кроме нуля. Обратимые матрицы
- это в точности все матрицы с ненулевым определителем. Если элемент x обратим, то определены степени с отрицательным показателем: [pic].
Наконец, отметим, что если x и y обратимы, то элемент [pic] также обратим и [pic]. (Сначала мы одеваем рубашку, а потом куртку; раздеваемся же в обратном порядке!).
Определение (абстрактной) группы.

Пусть на множестве G определена алгебраическая операция (*). (G ,*) называется группой, если
1. Операция (*) ассоциативна на G.
2. Для этой операции существует нейтральный элемент e (единица группы).
3. Каждый элемент из G обратим.
Примеры групп.
1. Любая группа преобразований.
2. (Z, +), (R, +), (C, +).
3. [pic]
4. Матричные группы: [pic]- невырожденные квадратные матрицы порядка n, ортогональные матрицы того же порядка, ортогональные матрицы с определителем 1.
5. Простейшие свойства групп.
6. В любой группе выполняется закон сокращения: [pic](левый закон сокращения; аналогично, имеет место и правый закон).

Доказательство.

Домножим равенство слева на
[pic] и воспользуемся свойством ассоциативности: [pic] [pic] [pic].
7. Признак нейтрального элемента: [pic]
Доказательство

Применим к равенству [pic] закон сокращения.
8. Признак обратного элемента: [pic] Доказательство

Применим закон сокращения к равенству [pic].
9. Единственность обратного элемента. Обратный элемент определен однозначно.

Следует из п.3.
10. Существование обратной операции. Для любых двух элементов
[pic]произвольной группы G уравнение [pic] имеет и притом единственное решение.

Доказательство

Непосредственно проверяется, что [pic](левое частное элементов [pic]) является решением указанного уравнения. Единственность вытекает из закона сокращения, примененного к равенству [pic]. Аналогично устанавливается существование и единственность правого частного.
11. Изоморфизм групп.
Определение.
Отображение [pic] двух групп G и K называется изоморфизмом , если
1.Отображение ( взаимно однозначно.

2.Отображение ( сохраняет операцию: [pic].
Поскольку отображение обратное к ( также является изоморфизмом, введенное понятие симметрично относительно групп G и K , которые называются изоморфными.
Примеры.
1.Группы поворотов плоскости [pic] и [pic]вокруг точек [pic] и
[pic]изоморфны между собой. Аналогично, изоморфными будут и группы, состоящие из поворотов пространства относительно любых двух осей.

2.Группа диэдра [pic] и соответствующая пространственная группа [pic] изоморфны.
3. Группа тетраэдра T изоморфна группе [pic] состоящей из четных подстановок четвертой степени. Для построения изоморфизма достаточно занумеровать вершины тетраэдра цифрами 1,2,3,4 и заметить, что каждый поворот, совмещающий тетраэдр с собой некоторым образом переставляет его вершины и, следовательно, задает некоторую подстановку множества{1,2, 3, 4} Повороты вокруг оси, проходящей через некоторую вершину (например 1), оставляет символ 1 на месте и циклически переставляет символы 1, 2, 3. Все такие перестановки - четные. Поворот вокруг оси, соединяющей середины ребер (например, 12 и 34 ) переставляет символы 1 и 2 , а также 3 и 4. Такие перестановки также являются четными.
4. Формула [pic]определяет взаимно однозначное соответствие между множеством R вещественных чисел и множеством [pic] положительных чисел. При этом [pic]. Это означает, что [pic] является изоморфизмом.
Замечание. В абстрактной алгебре изоморфные группы принято считать одинаковыми. По существу это означает, что игнорируются индивидуальные свойства элементов группы и происхождение алгебраической операции.
5. Понятие подгруппы.

Непустое подмножество [pic] называется подгруппой, если [pic]само является группой. Более подробно это означает, что [pic], [pic] и [pic].
Признак подгруппы.
Непустое подмножество [pic] будет подгруппой тогда и только тогда, когда
[pic].
Доказательство.
В одну сторону это утверждение очевидно. Пусть теперь [pic]- любой элемент.
Возьмем [pic] в признаке подгруппы. Тогда получим [pic]. Теперь возьмем
[pic]. Тогда получим [pic].
Примеры подгрупп.
1. Для групп преобразований новое и старое понятие подгруппы равносильны между собой.
2. [pic]- подгруппа четных подстановок.
3. [pic]
4. [pic] и т.д.
5. Пусть G - любая группа и [pic] - любой фиксированный элемент. Рассмотрим множество [pic]всевозможных степеней этого элемента. Поскольку [pic], рассматриваемое множество является подгруппой. Она называется циклической подгруппой с образующим элементом g .
6. Пусть [pic] любая подгруппа Рассмотрим множество [pic]- централизатор подгруппы H в группе G. Из определения вытекает, что если [pic], то
[pic], то есть [pic]. Теперь ясно, что если [pic], то и [pic] и значит централизатор является подгруппой. Если группа G коммутативна, то [pic].
Если G=H, то централизатор состоит из тех элементов, которые перестановочны со всеми элементами группы; в этом случае он называется центром группы G и обозначается Z(G).
Замечание об аддитивной форме записи группы.
Иногда, особенно когда операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением. В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g. Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (-g). Степени элемента g имеют вид g+g+...+g
, называются кратными элемента g и обозначаются ng.