Лобачевский

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: развитие россии реферат, реферат подросток
| Добавил(а) на сайт: Gedeon.

22. Прямая пересекает окружность не более чем в двух точках.

23. Равные дуги окружности стягиваются равными хордами, и обратно.

24. Если выбрать единичный отрезок, то всякому отрезку можно поставить в соответствие единственное положительное число, называемое длинной отрезка, и, обратно, каждому положительному числу можно поставить в соответствие некоторый отрезок, длина которого выражается этим числом.

25. Если все внутренние лучи, выходящие из вершины угла АОВ, а так же сторона АО и ОВ разбить на два класса так, что 1) каждый луч принадлежит одному и только одному из этих классов, луч АО принадлежит первому классу, а луч ОВ – ко второму, 2) каждый луч первого класса лежит между ОА и любым лучом второго класса, то существует один и только один луч l, пограничный между лучами обоих классов, причем сам луч l принадлежит либо первому, либо второму классу.

26. Если выбрать некоторый угол в качестве единицы измерения, то каждому углу можно поставить соответствие единственное число, называемое мерой или величиной угла.

Исходным пунктом геометрии Лобачевского является принятие всех предложений геометрии Евклида, не зависящих от 5-го постулата (т.е. абсолютной геометрии, включая аксиомы Паша, Архимеда, Дедекинда), и присоединение к ним взамен отброшенного 5-го постулата следующая аксиома, противоположный аксиоме Плейфера, а значит, и 5-му постулату.

Через точку, лежащую вне прямой плоскости, определяемой ими, можно провести не менее 2-х прямых, не пересекающих данной прямой.

Эта аксиома утверждает существование, по крайней мере 2-х таких прямых. Отсюда следует, что таких прямых существует бесконечное множество.

Очевидно, что все прямые, проходящие через точку М внутри вертикальных углов ( и (, образованных прямыми b и c также не пересекают а, а таких прямых бесконечное множество.
Плоскость (или пространство), в которой предполагается выполнение аксиомы
Лобачевского, называется плоскостью (или пространством) Лобачевского.

Перейдём непосредственно к параллельным Лобачевского.

Две граничные прямые СС’ и DD’ называются параллельными прямой ВВ’ в точке А, причём прямая С’С называется параллельной В’В в направлении В’В, а прямая D’D называется параллельной прямой ВВ’ в направление ВВ’. Острый угол ( , образуемый параллельными с перпендикуляром АР, называется углом параллельности в точке А относительно прямой BB’. Этот угол, есть функция длины р перпендикуляра АР и обозначается так: (=П (р). АР называются отрезком параллельности в точке А относительно прямой BB’.

Все прямые пучка не пересекающие BB’ и лежащие внутри заштрихованных вертикальных углов, называются расходящимися с BB’ или сверх параллельными к BB’; угол, образуемый такой прямой с перпендикуляром АР с обеих от него сторон, больше угла параллельности ( .

Наконец , все остальные прямые пучка, образующие с АР с какой-либо стороны острый угол, меньше угла параллельности ( , называются пересекающими прямую BB’ или сходящимися с BB’ .

Необходимо обратить внимание , что геометрия Лобачевского при указание, то прямая СС’ параллельно прямой BB’, является совершенно обязательным также указывать, во-первых, в каком направление CC’ параллельно BB’, во-вторых, в какой точке , ибо у нас пока нет уверенности в том , что если мы на прямой CC’ возьмём какую-нибудь точку М , отличную от А , то и по отношению к пучку прямых с центра в точке М прямая СС’ будет граничной прямой.

Определение. Прямая С’C называется параллельной прямой в направление
B’B в точке А, если , во-первых, прямая С’C не пересекает прямой BB’, во- вторых , C’C является граничной в пучке прямых с центром в точке А, т. е. всякий луч АЕ, проходящий внутри угла CAD, где D-любая точка прямой BB’, пересекает луч DB.

Условимся в целях краткости и удобства обозначать параллельность прямой АА’ к BB’в направление B’B символом AA’ (( B’B, где порядок букв указывает направление параллельности. На чертеже направление параллельности указывается стрелками.

Теорема1. Если прямая ВВ’((АА' в точке М, то ВВ'((АА' в любой своей точке N.

Теорема 2. Если ВВ'((АА', то и обратно: АА'((ВВ'.

Теорема 3. Если АА'((СС' и ВВ'((СС', то АА'((ВВ'.

Теорема 4. Если прямая CC’ лежит между двумя прямыми АА’ и BB’, параллельными в некотором направление, не пересекая их, то CC’параллельна обеим этим прямым в том же направлении.

Теорема 5.Если две прямые при пересечении с третьей образуют равные соответственные углы, или внутренние односторонние углы, в сумме составляющие 2d, то эти прямые расходятся.
Задача 902.(Сборник задач - Атанасян, ч.2) Пусть (U1V1) (((U2V2). Доказать, что если прямая (UV) лежит между (U1V1) и (U2V2) и не пересекает одну из них, то она параллельна данным.

Действительно, отрезок U1U2, соединяющий любые точки U1 и U2 параллельных прямых U2V2 и U1V1 , пересечет UV в некоторой точке U, ибо UV по условию лежит между U2V2 и U1V1 (теорема 1.18).

В силу параллельности U2V2 и U1V1 любой луч U2E , проходящий внутри угла V2U2U1, пересечёт U1V1, а значит, и UV. Следовательно, U2V2 ((
UV. Пользуясь теоремами 2 и 3 , легко убедиться, что U1V1 ((UV.
Интересно отметить, что в геометрии Лобачевского прямая может пересечь две параллельные, не пересекая третьей. Действительно, например, любая прямая
EF, расходящаяся с АА’, пересекает СС’и BB’, не пересекая АА’.