Позвольте пригласить вас на прогулку по математической кунсткамере, где собраны некоторые экспонаты, которые столь же отличаются от знакомых со школьных или вузовских времен математических образов, как ихтиозавры или какие нибудь трицератопсы от современных животных.

Джин выходит из бутылки. Необычной является уже сама функция Дирихле, о которой говорилось выше. Ведь на самом маленьком отрезке оси абсцисс бесконечно много и рациональных и иррациональных чисел. Но функция Дирихле для рациональных чисел равна единице, а для иррациональных – нулю. Поэтому когда x пробегает ось абсцисс, то значение функции все время прыгает от 0 к 1 и обратно. Построить график этой функции совершенно невозможно, потому что эта функция во всех точках разрывна.

Но и среди непрерывных функций есть функции с неожиданными свойствами. Например, может ли непрерывная функция иметь на конечном отрезке бесконечно много максимумов и минимумов? На первый взгляд это совершенно невозможно. Ведь функция должна успеть опуститься из точки максимума в точку минимума и т. д. Как же ей сделать все это на конечном отрезке? Тем не менее оказалось, что такие странные функции существуют, причем построить их совсем нетрудно.

Построим такую функцию на отрезке [0,1]. Для этого разделим отрезок пополам и построим на левой половине равносторонний треугольник. Теперь разделим оставшуюся правую половину снова на две равные части и на части
[1/2, 3/4] построим второй равносторонний треугольник. Выполним описанную операцию бесконечно много раз. У нас получится «горная цепь», состоящая из бесконечного числа вершин, постепенно опускающаяся к точке 1

0

1

Рис. 12

(рис. 12). Примем полученную ломанную за график функции f(x). Тогда функция будет определена в каждой точке отрезка [0,1], за исключением крайней правой точки 1. В этой точке положим f(1)=0.

Так как при приближении к точке 1 высоты вершин стремятся к нулю, полученная нами функция непрерывна во всех точках отрезка [0,1]. А число максимумов и минимумов на этом отрезке бесконечно велико!

Математику XVIII в., чтобы построить такую странную функцию, понадобилось бы долго комбинировать различные функции, прежде чем он догадался бы, что функция

{ x cos(?/x), если x?0
F(x)= { 0, если x=0 имеет бесконечно много максимумов и минимумов на отрезке [0,1].

Но функции с бесконечным числом максимумов и минимумов были лишь началом неприятностей, ожидавших математиков. Джинн только начал выходить из бутылки.

“Мокрые точки”. У функции, которую мы построили в предыдущем пункте, есть лишь одна точка, около которой бесконечно много максимумов и минимумов, а именно точка 1. Сейчас мы построим другую функцию, у которой таких точек будет куда больше.

Предположим, что на отрезок [0,1] оси абсцисс падает сверху дождь.
Для защиты от дождя поступим следующим образом. Разделим отрезок [0,1] на три равные части и возведем над средней частью палатку в форме равностороннего треугольника. Она защитит от дождя все точки средней части
(кроме концов этой части, то есть точек 1/3 и 2/3). Теперь каждую из оставшихся двух частей снова разделим на три равные части и защитим средние части палатками той же формы ( но втрое меньшего размера).

Рис. 13
У нас получится линия, изображенная на рис. 13. На третьем шаге процесса мы построим еще четыре палатки, потом еще восемь и т. д.

Возникает вопрос: все ли точки отрезка защищены получившейся пилообразной линией или остались точки, которые дождь намочит? Некоторые из таких “мокрых” точек указать легко – ими являются концы защищаемых отрезков (то есть такие, ка 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9 и т. д.). Все эти точки остаются без защиты при возведении соответствующей палатки, а последующие палатки их тоже не защищают. Легко видеть, что таких концов будет бесконечное, но счетное множество.

Колючая линия. На протяжении многих столетий математики имели дело лишь с линиями, почти в каждой точке которых можно было провести касательную. Если и встречались исключения, то только в нескольких точках.
В этих точках линия как бы ломалась, и потому их называли точками излома. В течение долгого времени никто из математиков не верил, что может существовать непрерывная линия, целиком состоящая из зубцов, изломов и колючек. Велико было изумление, когда удалось построить такую линию, более того, функцию, график которой был такой колючей изгородью. Первым это сделал Больцано. Но его работа осталась неопубликованной, и впервые такой пример опубликовал Вейерштрасс. Однако пример Вейерштрасса очень трудно изложить – он основан на теории тригонометрических рядов. Пример же
Больцано напоминает линии, которые мы строили раньше.

Вот этот пример с небольшими изменениями. Разделим отрезок [0,1] на четыре равные части и над двумя средними частями построим равнобедренный треугольник (рис. 16, а). Получившаяся линия является графиком некоторой функции, которую обозначим через y=f 1(x).

а б

0 1 0

1

в

0 1

Рис. 16

Разделим теперь каждую из четырех частей еще на четыре равные части и в соответствии с этим построим еще четыре равнобедренных прямоугольных треугольника (рис. 16, б). Мы получим график второй функции y=f 2(x). Если сложить эти две функции, то график суммы y=f 1(x) + y=f 2(x) будет иметь вид, изображенный на рис. 16, в. Видно, что получившаяся линия имеет уже больше изломов и эти изломы гуще расположены. На следующем шаге мы снова разделим каждую часть еще на четыре части, построим 16 равнобедренных прямоугольных треугольников и прибавим соответствующую функцию y=f 3(x) к функции y=f 1(x) + y=f 2(x).