Настоящая наука и настоящая музыка требуют однородного мыслительного процесса. А. Эйнштейн

Нам известен пифагоров строй, т.е. математическое выражение интервальных коэффициентов, лидийской гаммы, или, в современной терминологии, строй натурального мажора:
1 9 81 4 3 27 243 2

8 64 3 2 16 128 до ре ми фа соль ля си до

9 9 256 9 9 9 256

8 8 243 8 8 8 243

Здесь цифры внизу обозначают интервальные коэффициенты соседних ступеней гаммы; напомним, что 9/8 есть тон, а 256/243- полутон. Основные консонансные (консонанс - согласованное сочетание двух звуков ) интервалы в пределах октавы - квинта и кварта - являются соответственно средним арифметическим и средним гармоническим частот основного тона и октавы.
Кроме того, октава, квинта, кварта и тон образуют геометрическую пропорцию: октава / квинта = кварта / тон.

Таким образом, музыкальная гамма разделена на пропорциональные части: она буквально пронизана пропорциями, а пропорциональность, как мы знаем, является одним из объективных критериев красоты. Однако на этом математика музыкальной гаммы не кончается, а, скорее, только начинается.

Прежде всего, из соотношения видно, что расстояния между соседними ступенями пифагорова строя неодинаковы. Поэтому, во-первых, от ноты до можно было играть только в лидийском ладу, а чтобы сыграть от этой ноты, скажем, в дорийском ладу, необходимо было перестраивать почти все струны лиры. Во-вторых, от ноты ре получался уже не лидийский, а фригийский лад и, вообще, от каждой новой ноты начинался новый лад ( 7 ладов - по одному на каждую из 7 нот октавы). Поэтому, чтобы сыграть мелодию в лидийском ладу от другой ноты (чего, безусловно, требовали ограниченные возможности человеческого голоса: один поет выше, другой - ниже), лиру, также следовало перестраивать. (Конечно, если всю жизнь играть в одном ладу и одной тональности, то семи нот в октаве будет вполне достаточно. До сих пор прекрасно обходятся семью звуками некоторые гармошки и другие инструменты).

Итак, для того, чтобы иметь возможность переходить из лада в лад и из тональности в тональность, строй должен быть равномерным, т.е. иметь одинаково высотные расстояния (интервальные коэффициенты) между звуками.
Казалось бы, что проще: нужно разделить каждый тон - интервал пополам на два полутона, т.е. получить еще пять дополнительных звуков, и шкала пифагорова [pic]строя станет равномерной. Но вот тут то и таилась основная трудность.

Дело в том, что половина тона (V9/8~1,0607) в точности не равна полутону (256/243~1,0545). Поэтому если в качестве единого масштаба строя взять полутон V9/8, т.е. заменить на него имеющиеся два полутона 256/243, то эти 12 новых полутонов приведут нас не точно в октаву, а чуточку выше:
(V9/8) 12=(9/8)6=2,0273. Интервал между октавой, полученной шагами по 12- равномерным полутонам V9/8, и чистой октавой равен и называется пифагоровой коммой (коммой в музыкальной акустике называется интервал, не превышающий 1/9 целого тона. Пифагорова комма приблизительно равна 1/9 тона).

Представляя пифагорову комму в виде
[pic][pic][pic]

мы получим ещё один важный результат: 12 квинт с точностью до пифагоровой коммы равны 7 октавам.

Но [pic][pic] , т.е. новый полутон содержал иррациональное число V2, которого пифагорейцы боялись, как огня. Взять столь «некрасивое» число в качестве единицы измерения музыкальной гаммы было немыслимым для пифагорейцев: это противоречило всей философии целочисленных отношений.
Поэтому пифагорейцы пошли другим путём: в качестве основы музыкальной гаммы они взяли квинту, красивое число 3/2.

Рассмотрим ряд, составленный из степеней числа 3/2:
...[pic][pic][pic]...

Оказывается, с помощью этого красивого симметричного ряда можно получить все интервальные коэффициенты пифагорова строя. Начнем с середины ряда и все получаемые звуки будем сводить в одну октаву, умножая или деля их интервальные коэффициенты на нужные степени числа 2 (интервальный коэффициент октавы)ю Новые звуки будем обозначать либо ближайшим снизу основным звуком с добавлением слова «диез» () при движении по квинтам вверх, либо ближайшим сверху основным звуком с добавлением слова «бемоль»
() при движении по квинтам вниз. Это означает соответственно повышение или понижение основного звука. Итак,

[pic] соль [pic][pic]
[pic][pic] ре [pic][pic]
[pic][pic] ля [pic][pic]
[pic][pic][pic][pic]

Как видим, двигаясь по квинтам вверх и вниз от основного тона, мы получили все ступени пифагорова строя, каждая из которых в свою очередь может быть повышена, понижена, дважды повышена или понижена и т.д. Процесс этот, к сожалению, бесконечен. Точного октавного повторения основного тона
(до) мы так и не получим. (Легко видеть, что си-диез и ре-бемоль-бемоль совпадают с основным тоном (до) опять же с точностью до пифагоровой коммы.)
Следовательно, и точно разделить октаву на целое число частей этим методом мы не сможем.

Таким образом, желая разделить пять [pic]тонов на полутона, мы получили, по крайней мере, 10 промежуточных звуков.

Какие из этих дополнительных звуков взять: с бемолями или с диезами»?
Для музыкантов, играющих на инструментах с нефиксированной высотой звуков
(скрипачей, например), эта проблема не стоит. Они берут и те, и другие. В результате звучание скрипки становится более выразительным и контрастным, так как в ладе обостряются тяготения неустойчивых звуков к устойчивым. Этим во многом объясняется то «волшебное пение» скрипки, которое доступно ей одной.

Что касается инструментов с фиксированной высотой звуков, то введение
10 дополнительных звуков на 7 основных слишком бы усложнило и инструменты, и игру на них. Тем более, что и это не решщало окончательно проблему и более тонкие построения требовали всё новых и новых звуков. На сегодня в теории музыки известна масса строев с числом ступеней от 17 до 84! Но все они так и остались в кабинетах теоретиков. Практика же , руководствуясь мудрым критерием простоты (и красоты ), оставила только пять дополнительных звуков: по одному в каждом из целых тонов. Они и стали чёрными клавишами
(дополнительными) фортепиано.

Так в октаве стало 12 звуков. Поскольку каждая пара дополнительных звуков отличалась лишь на пифагорову комму (это легко проверить), то их попросту приравнивали между собой (до-диез стал равен ре-бемолю и т.д.).
Такое приравнивание звуков с одинаковой высотой, но разными названиями в теории музыки называется энгармонизмом . Тонкости ладового звучания были принесены в жертву простоте. Инструменты же с числом звуков в октаве, превышающим 12, можно увидеть только в музеях. В московском Музее музыкальной культуры имени М. И. Глинки хранится рояль русского писателя, музыканта и музыковеда В. Ф. Одоевского (1804-1869), в каждой октаве которого 17 клавиш.

Квинтовая цепь пифагорова строя дала простой способ настройки инструментов с фиксированной высотой звуков: органов, клавесинов, фортепиано. От основного тона (сегодня по общему признанию им является звук ля первой октавы) откладывалось ? октав - скелет музыкальной шкалы. Эти октавы заполнялись 12 звуками вверх и вниз. Какие из звуков взять за дополнительные - повышенные или пониженные, - особого значения не имело.
Важно было другое: пифагорова комма оставалась внутри октавы. Её можно было переместить в любое место октавы, но нельзя было сделать только одного: нельзя было от неё избавиться! И она продолжала портить кровь музыкантам на протяжении столетий. Почему?

Если взять пифагоров строй с пониженными дополнительными звуками: си до ре ми фа соль ля си до1
.243 1 256 9 32 81 4 1024 3 128 27 16 243
2 512
256 243 8 27 64 3 729 2 81 16 9 128

243...

то в таком строе все квинты будут звучать чисто (иметь интервальный коэффициент 3/2), кроме одной. Квинта си - соль-бемоль будет иметь интервальный коэффициент 1024 / 729 : 243 / 256 ~ 1,4798, а не 1,5! От чистой квинты она отличается на пифагорову комму: 1,5 / 1,4798 ~ 10136.
Такая квинта на органе издавала пронзительный, неприятный звук, похожий на завывание волка, за что и была прозвана «волчьей квинтой» или просто
«волком». Обращением «волчьей квинты » является «волчья кварта» соль- бемоль - си, которая тоже отличается от чистой кварты (4/3 = 1,333...) на пифагорову комму: 243 / 127 : 1024 / 729 ~ 1,3515;
1,3515 / 1,3333 ~ 1,0136. Можно сказать, что вся история развития музыкальных строев была историей борьбы с «волками». Но об этом - чуть позже.