Министерство Общего и Профессионального Образования РФ

Пермский государственный технический университет

Кафедра математического моделирования систем и процессов

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА к выпускной работе на степень бакалавра математических наук

Математическое моделирование полета лыжника при прыжке с трамплина

Выполнил студент группы ММ-93 Подгаец А.Р.

Научный руководитель - профессор кафедры теоретической механики ПГТУ, кандидат физико- математических наук Р.Н.Рудаков

Пермь 1997

Оглавление
|1. Введение |3 |
|1.1. Обзор литературы |5 |
|2. Концептуальная постановка задачи |8 |
|2.1. Геометрические элементы трамплинов |8 |
|2.2. Собственно концептуальная постановка |9 |
|3. Математическая постановка задачи |11 |
|3.1. Предположения |11 |
|3.2 Уравнения движения | |
|4. Обтекание трамплинной горы потоком воздуха | |
|4.1. Концептуальная постановка задачи | |
|4.2. Математическая постановка | |
|4.3. Численное решение | |
|4.4. Результаты | |
|4.1. Выводы по главе | |
|5. Решение основной задачи | |
|5.4. Исследование решения | |
|4.5. Анализ результатов | |
|4.6. Выводы по главе | |
|6. Заключение | |

1. Введение

"Достижения лыжников-прыгунов на состязаниях любого ранга, будь то всесоюзные или международные соревнования, первенства мира или олимпийские игры,предопределены всей историей прыжков на лыжах - творческим трудом ученых, тренеров, самих спортсменов. Неоднократное низвержение

"законодателей стиля", устоявшихся взглядов на "каноны" техники всегда знаменовало собой "новый" этап, который тут же становился "пройденным", в развитии спорта. ...

Постоянное усовершенствование спортивной техники, модернизация спортивных сооружений (профилей трамплинов) - вот основные условия высоких достижений в прыжках на лыжах."

(Грозин Е. А., "Прыжки с трамлина")

Этот вид спорта - прыжки на лыжах с трамплина - появился на свете в конце XIX века в Скандинавских странах и на севере России. Это один из
"молодых" видов спорта, рожденных уже в эру научно-технической революции.
Нельзя не заметить и то, что состязания прыгунов представляют смертельную угрозу для новичка. Кроме того, прыжки на лыжах с трамплина связаны не только с силой мускулов, реакцией и удачей, но и с тонким расчетом, основанным на знании физических законов природы и возможностей человека.
Учитывая все это, можно ожидать, что этот вид спорта будет нуждаться в поддержке со стороны науки.

Первые работы, посвященные прыжкам на лыжах относятся к 1924 году. Их автор - норвежец Р. Штрауман - и прыгун Тулин Тамс известны в спортивном мире, как создатели "норвежского стиля" прыжков с трамплина. Этот год ознаменовал приход на спортивный Олимп норвежских прыгунов, которые занимали призовые места чуть ли не до середины 50-х годов. К 1954 году относится следующая научных изысканий, результатом которых стал "финский стиль", впервые продемострированный на Олимпийских играх прыгуном Тауно
Луиро. К концу 50-х относятся работы советских ученых Андреева В.А.,
Ниремберга Г.Р., Химичева М.А. и Нагорного В.Э. и таких прыгунов как Н.
Каменский, К. Цакадзе, Н. Шамов. В начале 60-х спортивные победы достаются спортсменам из ГДР, за которыми несомненно тоже стоит коллектив тренеров и ученых. К 1969 году относится феноменальное событие в истории прыжков на лыжах с трамплина. Во время соревнований "Неделя полетов" в г. Планица
(Югославия) предыдущий мировой рекорд - 141 метр - был побит шесть раз.
Новым мировым рекордом стал прыжок на 165 метров.

Этот успех всколыхнул волну новых научных исследований во всех странах.
В конце 80-х - начале 90-х годов на спортивной арене появился V-стиль, с которым связаны новые успехи и достижения.

Каждый стиль - это своя техника прыжка, опирающаяся на научный опыт.
Хочется надеяться, что данная работа послужит если не еще одной ступенькой в этом восхождении, то хотя бы заделом для будущей работы, принесущей реально значимые для российских спортсменов плоды.

1.1. Обзор литературы

Как и было сказано выше, данная работа, конечно же, не является первой в области моделирования прыжков. Более того, она во многом опирается на опыт наших предшественников.

В своей книге "Прыжки с трамлина" [1], вышедшей в 1971 году, Е.А.Грозин рассматривает последовательно все стадии прыжка: разгон, полет и приземление. В работе детально рассмотрен сам полет, составлена математическая модель, использующая коэффициенты аэродинамического сопротивления, полученные из экспериментов в аэродинамической трубе, и кинограммы прыжков. Разобраны различные техники прыжка, популярные в 50-е,
60-е годы и показано превосходство вторых над первыми. Автор рассматривает также разгон и приземление, но комплексного исследования не проводит, то есть, например, при анализе приземления не учитывается посадочная скорость, которая обусловлена всем предыдущим движением лыжника. Указаны лишь очевидные границы для нее и способы гашения. В работе есть место и математическим выкладкам, и практическим советам. Несомненно, эта книга была способна принести много пользы прыгунам - и действительно принесла.
Положительной стороной книги является рассмотрение всех стадий прыжка, что у нас присутствует пока только в планах на будущее.

Вопросам моделирования прыжка с трамплина посвящены работы Л.П.Ремизова
[2,3]. Первая из них, опубликованная в советском журнале "Теория и практика физической культуры" в 1973 году, создает впечатление то ли выборки, то ли предварительных результатов для второй работы, опубликованной десятилетием позже в международном журнале по биомеханике. Отличие разительное: 2 страницы - и полномасштабное исследование, включающее в себя и эти 2 страницы. Обе статьи посвящены нахождению оптимальной траектории полета лыжника-прыгуна при помощи принципа максимума Понтрягина. Склон горы приземления задан некоторой функцией, так же как и коэффициенты аэродинамического сопротивления, и задача решается в такой обобщенной постановке почти до конца. Естественно, что аналитическое решение поставленной задачи найти очень трудно, и для каждого вида функций задача решается численно. В обеих статьях используются коэффициенты аэродинамического сопротивления, полученные Грозиным в 1971 году, то есть эти работы также проведены для давно устаревших способов прыжка. Их результатом явился вывод, что угол атаки прыгуна должен не оставаться постоянным, как считалось ранее, а медленно возрастать в полете. Сейчас мы видим плоды этого и других подобных исследований в инструкциях по прыжкам с трамплина, где сказано, что прыгун должен постепенно распрямляться и поднимать лыжи. Таким образом, данная работа является намеком на необходимость проведения такого же исследования для современных способов прыжка.

Наконец, в последнюю очередь кратко остановимся на совсем новой статье
[4], опубликованной в 1997 году в журнале "Теория и практика физической культуры" несколькими авторами из города Великие Луки. Один из них, будучи математиком, демонстрирует оригинальный математический метод расчета дальности прыжка с привлечением теории функций комплексного переменного. В конце статьи выведена формула, позволяющая легко вычислять дальность прыжка, основываясь на данных о прыгуне, трамплине и ветре. Цель поставлена благая: дать тренеру и конструктору возможность легко рассчитывать дальность прыжка, не вдаваясь в физические сложности. Однако в этой работе допущена ошибка при записи уравнений движения - неверно учтена скорость ветра. Не исследуется зависимость аэродинамических коэффициентов от угла атаки и сами коэффициенты, взятые из [1], соответствуют старым способам прыжка. Угол вылета прыгуна положителен, в то время как таких трамплинов не делают по меньшей мере уже тридцать лет. Также скорость ветра считается постоянной по модулю и направлению в любой точке траектории лыжника.

Во всех рассмотренных работах не анализируется посадочная скорость лыжника, а между тем травмы в этом виде спорта случаются не только при приземлении "вверх тормашками", но и при казалось бы нормальной посадке.
Также ни в одной работе не учтено влияние ветра в окрестностях трамплинной горы.

2. Концептуальная постановка задачи