Матричный анализ

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: реферат вода, шпаргалка рф
| Добавил(а) на сайт: Pivovarov.

Понятие приводимости имеет значение при решении матричных уравнений [pic] , ибо если Ф – приводима, то осуществив замену переменных, которую подсказывают равенства [pic], получаем
[pic], где [pic], [pic].
[pic] и решаем матричное уравнение с матрицей более низкого порядка. Затем,
[pic] и решаем матричное уравнение. Таким образом, если А – приводима, то решение уравнения высокого порядка сводится к решению уравнений более низкого порядка, при чем собственные значения матриц А11 и А22 в своей совокупности составляет множество значений матрицы А.
Интересно, что явление приводимости не связано с величиной матрицы, а зависит лишь от расположения нулевых элементов в матрице.
В связи с этим, используют идею направленного графа матрицы, которую можно взять в качестве характеризации неприводимости матрицы. Наметим первые шаги тоерии и получим вторую характеризацию неприводимости матриц.

DF. Пусть р1, р2, …, рn – n различных точек комплексной плоскости и [pic].
Для каждого нулевого элемента матрицы А [pic] составим направленную линию от рi к рj [pic]. Получающаяся в результате фигура на комплексной плоскости называется направленным графом матрицы.

Например:
[pic]

DF. Говорят, что любой направленный граф связен, если для каждой пары точек
[pic] существует направленный путь [pic].

Легко доказать, что квадратная матрица неприводима тогда и только тогда, когда ее граф является связным.

8.Теорема Фробениуса-Перона.
Очевидно, что если [pic], то для [pic] [pic]. Более того, мы покажем, что для достаточно больших p [pic].

Лемма № 1. Если матрица [pic] неотрицательна и неприводима, то [pic].
Доказательство:
Если взять произвольный вектор [pic] и [pic], то [pic]. И пусть вектор
[pic] имеет место, очевидно, что Z имеет по крайней мере столько же нулевых положительных элементов, что и y. В самом деле, если предположить, что Z имеет меньше нулевых компонент, то обозначим [pic], тогда [pic] и разбив матрицу А на блоки следующим образом
[pic] мы будем иметь [pic].
Учитывая, что [pic], то [pic], тогда получаем, что [pic], что противоречит неприводимости матрицы.
Для следующего вектора повторим рассуждения и т.д. В итоге получим, что для некоторого ненулевого вектора y [pic].
ЧТД.

Для ненулевой неприводимой матрицы А рассмотрим действительную функцию r(x), определенную для ненулевых векторов [pic] следующим образом: [pic],
(Ax)i – i-я координата вектора Ах.
[pic]. Из определения следует, что [pic] и кроме того, r(x) –такое наименьшее значение [pic], что [pic].
Очевидно, что r(x) инвариантна относительна замены x на [pic], поэтому в дальнейшем можно рассматривать замкнутое множество [pic], такое [pic].
Однако, r(x) может иметь разрывы в точках, где координата x обращается в 0, поэтому рассмотрим множество векторов [pic] и обозначим [pic]. По лемме № 1 каждый вектор из N будет положительным, а поэтому [pic]т.е. [pic]для [pic].
Обозначим через [pic] наибольшее число, для которого [pic], [pic]. [pic] – спектральный радиус матрицы А. Если [pic] Можно показать, что существует вектор y, что [pic].
Замечание. Могут существовать и другие векторы в L для которых r(x) принимает значение r, поэтому любой такой вектор называется экстремальным для матрицы А (Az=rz).

Интерес к числу r объясняется следующим результатом.

Лемма № 2. Если матрица [pic] неотрицательна и неприводима, то число
[pic][pic] является собственным значением матрицы А, кроме того каждый экстремальный вектор для А положителен и является правым собственным вектором для А, отвечающим собственному значению r.
Основным результатом является теорема Фробениуса-Перона для непрерывных матриц.
Теорема Фробениуса-Перона. Если матрица [pic] неотрицательна и неприводима, то:

1. А имеет положительное собственное значение, равное спектральному радиусу матрицы А;

2. существует положительный правый собственный вектор, соответствующий собственному значению r.

3. собственное значение имеет алгебраическую кратность равную 1.
Эта теорема была опубликована в 1912 году Фробениусом и явилась обобщением теоремы Перона, которая является следствием.

Теорме Перона (следствие). Положительная квадратная матрица А имеет положительное и действительное собственное значение r, имеющее алгебраическую кратность 1 и превосходит модули всех других собственных значений матрицы А. Этому r соответствует положительный собственный вектор.

Используя теорему Фробениуса-Перона, можно найти максимальное действительное значение матрицы, не используя характеристического многочлена матрицы.
----------------------- р1

р3

р2

[pic]