Магнитогорский Государственный Технический Университет имени Г.И.Носова

Кафедра математики

Реферат

Тема: Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов

Выполнил: студент группы ЭА-04-2

Романенко Н.А.

Проверил: Королева В.В.

Магнитогорск 2004
Часто возникает необходимость в решении линейных алгебраических систем, матрицы которых, являясь слабо заполненными, т.е. содержащими немного ненулевых элементов, имеют определённую структуру. Среди таких систем выделим системы с матрицами ленточной структуры, в которых ненулевые элементы располагаются на главной диагонали и на нескольких побочных диагоналях. Для решения систем с ленточными матрицами коэффициентов метод
Гаусса можно трансформировать в более эффективные методы.

Рассмотрим наиболее простой случай ленточных систем, к которым, как увидим впоследствии, сводится решение задач сплайн-интерполяции функций, дискретизации краевых задач для дифференциальных уравнений методами конечных разностей, конечных элементов и др. А именно, будем искать решение такой системы, каждое уравнение которой связывает три “соседних” неизвестных:

bixi-1+cixi+dixi=ri (1)

где i=1,2,...,n; b1=0, dn=0. Такие уравнения называются трехточечными разностными уравнениями второго порядка. Система (1) имеет трёхдиагональную структуру, что хорошо видно из следующего, эквивалентного (1), векторно- матричного представления:

c1 d1 0 0 ... 0 0 0 x1 r1 b2 c2 d2 0 ... 0 0 0 x2 r2

0 b3 c3 d3 ... 0 0 0 x3 r3

. . . . ... . . . * ...

= ...

0 0 0 0 ... bn-1cn-1 dn-1 xn-1 rn-1

0 0 0 0 ... 0 bn cn xn rn

Как и в решении СЛАУ методом Гаусса, цель избавится от ненулевых элементов в поддиаганальной части матрицы системы, предположим, что существуют такие наборы чисел ?i и ?i (i=1,2,...,n), при которых

xi= ?ixi+1+ ?i (2)

т.е. трехточечное уравнение второго порядка (1) преобразуется в двухточечное уравнение первого порядка (2). Уменьшим в связи (2) индекс на единицу и полученое выражение xi-1= ?i-1xi+ ?i-1 подставим в данное уравнение (1):

bi?i-1 xi+ bi ?i-1+ cixi+ dixi+1= ri откуда xi= -((di /( ci+ bi?i-1)) xi-1+(ri - bi ?i-1)/( ci - bi ?i-1)).

Последнее равенство имеет вид (2) и будет точно с ним совпадать, иначе говоря, представление (2) будет иметь место, если при всех i=1,2,…,n выполняются рекуррентные соотношения

?i = - di /( ci+ bi?i-1) , ? i=(ri - bi ?i-1)/( ci
- bi ?i-1) (3)

Легко видеть, что, в силу условия b1=0, процесс вычисления ?i , ?i может быть начат со значений

?1 = - d1/ c1 , ?1 = r1/ c1