1. Дополнительное построение

Продли медиану
Характеристика метода. Довольно часто, когда в условии задачи фигурирует медиана треугольника, бывает полезным продлить ее за точку, лежащую на стороне треугольника, на отрезок, равный самой медиане. Полученная новая точка соединяется с вершиной (вершинами) исходного треугольника, в результате чего образуются равные треугольники. Равенство соответствующих элементов этих треугольников помогает найти неизвестную величину или доказать предложенное утверждение.

Задача. Докажите, что треугольник является равнобедренным, если совпадают проведенные из одной и той же вершины медиана и биссектриса.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 1). Пусть отрезок BM – его медиана и биссектриса. Продлим BM на отрезок MD = BM. Образовались равные треугольники AMB и MCD (1-й признак равенства треугольников).
Из равенства этих треугольников имеем:
(1) AB = CD и (2) ? 1 = ? 3.
Используя равенство (2) и то, что ? 1 = ? 2 (по условию), получим, что треугольник BCD равнобедренный, а, следовательно, BC = CD. Используя полученный вывод и равенство (1) доказываем, что AB = BC, откуда следует истинность утверждения задачи.

2. Принцип непрерывности

Характеристика метода. Пусть величина k (угол, длина, площадь) зависит от положения точки X на отрезке (ломаной или другой линии). Если при одном положении X на отрезке k < 0, а при другом положении X на отрезке k > 0, то найдется такое положение X на этом отрезке, при котором k = 0.
Задача. В равностороннем треугольнике ABC проведена медиана AA1. Есть ли такая точка X на AA1, из которой отрезок BC виден под прямым углом.
Решение. Будем искать такое положение точки X, при котором ? BXC = 90°.
Начнем мысленно перемещать точку X по отрезку AA1 от A к A1. Обозначим величину угла BXC за ?. Когда точка X находится достаточно близко от точки
A (рис. 2), тогда ? мало отличается от 60°, а поэтому ?< 90°. Когда точка X находится достаточно близко от (рис. 3), тогда ?. мало отличается от 180°, а поэтому ?> 90°. Значит при каком-то положении точки X на AA1 ?.
= 90°.

3. Метод доказательства «от противного»
Характеристика метода. Имеем для доказательства утверждения вида A ?B (A – условие, B – заключение). Суть доказательства данным методом состоит в следующем:

1) Предполагаем, что заключение B не выполняется.

2) Путем логических рассуждений приходим к тому, что условие A не выполняется, т. е. получаем противоречие с условием.

3) Дальнейший анализ показывает, что причина полученного противоречия кроется в первоначальном предположении.

4) Делаем вывод, что это предположение неверно и, следовательно, заключение B выполняется (что и требовалось доказать).
Задача. Какое наибольшее число острых углов может быть в выпуклом многоугольнике?
Решение. Легко показать, что три острых угла в многоугольнике может быть
(например, в треугольнике). Все попытки построить какой-нибудь выпуклый n- угольник с четырьмя острыми углами оказываются тщетными. Возникает гипотеза: максимальное количество острых углов выпуклого многоугольника – три. Докажем ее.

1) Пусть найдется выпуклый многоугольник с большим числом углов, например, с четырьмя.

2) В этом случае сумма четырех острых углов будет меньше, чем 90°•4 или

180°•2. Сумма же остальных n – 4 углов будет меньше, чем 180°•(n – 4).

Тогда сумма всех углов n-угольника меньше, чем 180°•2 + 180°•(n – 4) =

180°•(n – 2), а это невозможно для выпуклого n-угольника (сумма его углов равна 180°•(n – 2)).

3) Полученное противоречие кроется в исходном предположении.

4) Наше предположение относительно существования четырех (а как показывает анализ рассуждений и большего количества) острых углов неверно. Следовательно, максимальное количество острых углов выпуклого n- угольника – три.
Доказательство выдвинутой гипотезы завершает решение задачи.

4. Метод доказательства «от противного» – 2
Характеристика метода. Имеем для доказательства утверждения вида

A ? B (*)
(A – условие, B – заключение). Идея доказательства опирается на равносильность теоремы (*) и теоремы противоположной для обратной к данной, т. е. теоремы

B ? ? (**)
Суть доказательства данным методом состоит в следующем:

1) Составляем теорему вида (**).

2) Доказываем составленную теорему.

3) Основываясь на описанной выше равносильности делаем вывод, что теорема

(утверждение) (*) верна.
Задача. Какое наибольшее число острых углов может быть в выпуклом многоугольнике?
Решение. Легко показать, что три острых угла в многоугольнике может быть
(например, в треугольнике). Все попытки построить какой-нибудь выпуклый n- угольник с четырьмя острыми углами оказываются тщетными. Возникает гипотеза: максимальное количество острых углов выпуклого многоугольника – три. Докажем ее.

1) Составим теорему, противоположную для обратной к данной: если в многоугольнике максимальное число острых углов больше трех, то он не выпуклый.