Многообразия алгебраических систем

Л. Н. Шеврин

Алгебраической системой называется множество, на котором задан некоторый набор алгебраических операций; операций в этом наборе может быть как конечное число (в частности, одна), так и бесконечно много. Понимание высказанного определения предполагает знание математических понятий множества и алгебраической операции. Имея в виду преимущественно читателя-нематематика, я не буду здесь углубляться и приводить соответствующие разъяснения, а проиллюстрирую определение на нескольких, надеюсь, вполне понятных примерах. Множество N всех натуральных чисел можно рассматривать как алгебраическую систему с одной операцией сложения; или с одной операцией умножения; или с набором из двух указанных операций; или, например, с набором, который состоит из двух указанных операций и бесконечного множества операций возведения произвольного числа во всевозможные степени с натуральным показателем. Таким образом, одно и то же множество (в данном примере - N) может быть превращено в разные алгебраические системы. На множестве всех целых чисел или множестве всех действительных чисел можно кроме перечисленных операций рассматривать, например, операцию вычитания. Различные алгебраические операции естественно рассматривать не только на числовых множествах, но и, например, на множествах векторов, функций, матриц, цепочек сигналов и многих других множествах, служащих предметом внимания и изучения в разных разделах математики и ее приложений. Тем самым ясно, что разного рода алгебраические системы очень распространены в "математическом мире".

Алгебра, являющаяся одной из важнейших областей математики, в двадцатом веке сформировалась именно как наука об алгебраических системах. При этом в ней изучаются и свойства конкретных алгебраических систем, и разнообразные общие свойства алгебраических систем, выражаемые в терминах заданных на них операций. Одним из важнейших языков для выражения свойств алгебраических систем является язык тождеств. Тождеством называют равенство буквенных выражений, справедливое при всех значениях входящих в него букв. Понятие тождества можно считать уникальным по "дистанции", охватываемой им в математике, - от самых начальных фактов, с которыми знакомятся младшеклассники, до крупных научных достижений последнего времени и открытых проблем.

Простейшие примеры тождества доставляет то свойство сложения и умножения натуральных чисел, которое называется коммутативностью и которое в школе принято называть переместительным законом. Соответствующие тождества записываются хорошо известными формулами

x + y = y + x , x · y = y · x. (1)

В школьном курсе к переместительному закону вскоре добавляется сочетательный, означающий выполнение для указанных операций cвойства ассоциативности, т. е. тождеств

(x + y) + z = x + (y + z) , (x · y) · z = x · (y · z) . (2)

Позднее констатируется так называемый распределительный закон, означающий выполнение тождеств дистрибутивности

x · (y + z) = x · y + x · z , (y + z) · x = y · x + z · x . (3)

Указанные тождества распространяются на более широкие числовые множества: на целые числа, рациональные, действительные. Для числовых множеств в школьной математике отмечаются и другие тождества, как правило, выводимые из более простых, среди которых, конечно, тождества (1)-(3). Типичные примеры таких тождеств:

(x + y)2 = x2 + 2·x·y + y2 , x2 - y2 = (x + y) · (x - y) .

Имеется немало примеров важных тождеств (как в рамках школьной математики, так и особенно вне этих рамок), в которых участвуют другие операции, заданные на числовых и нечисловых множествах. Можно сказать, что тождества являются непременными участниками многих математических выкладок, и в огромном числе работ, относящихся к самым разным областям математики, так или иначе приходится иметь дело с тождествами алгебраических систем. Стоит отметить, что почти все основные типы алгебраических систем и определяются в терминах тождеств.

Так, полугруппа - это множество с одной ассоциативной операцией; если эта операция обозначена, скажем, символом °, то ассоциативность означает выполнение тождества

(x ° y) ° z = x ° (y ° z) .

В частности, если такая операция названа сложением [умножением], то полугруппа определяется первым [вторым] из тождеств (2); тем самым, например, множество N всех натуральных чисел является полугруппой и относительно сложения, и относительно умножения.

Группа может быть определена как полугруппа (с операцией, обозначенной, скажем, символом °), на которой задана дополнительная операция, сопоставляющая любому элементу x элемент, обозначаемый, скажем, x', причем кроме тождества ассоциативности выполнены тождества

x ° x' = x' ° x , (x ° x' ) ° y = y ° (x ° x' ) = y.

Группой, например, будет множество всех целых чисел, если в качестве операции ° взять сложение, а роль x' будет играть элемент -x.

Кольцо определяется как множество с двумя операциями, называемыми обычно сложением и умножением, и дополнительной операцией, сопоставляющей любому элементу x элемент -x, причем относительно сложения и указанной дополнительной операции это группа, сложение коммутативно, т. е. выполнено первое из тождеств (1), а сложение и умножение связаны тождествами дистрибутивности (3). Простейший пример кольца - множество всех целых чисел относительно обычных операций сложения и умножения.

Очевидно, что различных тождеств бесконечно много, даже если рассматривать только тождества, в которых фигурирует какая-то одна операция. Более того, из любого тождества, выполняющегося в данной алгебраической системе, можно вывести бесконечно много других тождеств, выполняющихся в той же системе. Уже эти простые соображения наводят на мысль о богатстве ситуаций, в которых могут возникать вопросы, связанные с рассмотрением тождеств. (Например, один из принципиальных вопросов такого рода заключается в выяснении того, могут ли все тождества, выполняющиеся в данной алгебраической системе, быть выведены из конечного числа таких тождеств. Это так называемая проблема конечного базиса . Известны примеры как положительного, так и отрицательного решения этой проблемы для многих изучавшихся алгебраических систем, - и в большинстве случаев соответствующие результаты представляют собой крупные достижения в современных алгебраических исследованиях*). Проблематика, связанная с изучением тождеств, чрезвычайно богата и обусловила формирование широкого направления исследований, называемого теорией многообразий. Многообразием в данном контексте принято называть всякий класс алгебраических систем, который может быть задан некоторой совокупностью тождеств. Важными примерами многообразий являются, как вытекает из сказанного в трех предыдущих абзацах, такие "большие" классы, как класс всех полугрупп, класс всех групп, класс всех колец. У каждого из них имеется бесконечно много подклассов, также являющихся многообразиями; они называются подмногообразиями. Подмногообразия любого многообразия образуют так называемую решетку (это тоже один из основных типов алгебраических систем, но, не забывая о читателе-нематематике, я не буду приводить определение решетки, которое, кстати, также может быть дано на языке тождеств). Значительная часть исследований по теории многообразий устанавливает разнообразные связи между многообразиями и решетками их подмногообразий.

Начало развития теории многообразий алгебраических систем было положено в 1935 году основополагающей работой американского математика Г. Биркгофа. Во второй половине двадцатого века теория многообразий превратилась в одно из магистральных направлений в алгебре. Этой теории посвящено огромное количество исследований, отраженных, пожалуй, в нескольких тысячах работ. Значительное место занимает теория многообразий и в исследованиях участников екатеринбургского семинара "Алгебраические системы", руководимого автором настоящей заметки. В докладе на юбилейной научной конференции Уральского университета 17 октября 2000 года я кратко рассказал об основных направлениях исследований по теории многообразий, проводимых в семинаре. Можно выделить пять таких направлений: тождества, структурные аспекты, решетки многообразий, свободные системы в многообразиях, алгоритмические проблемы; в каждом из них, в свою очередь, естественно выделяются более конкретные разделы. В докладе были охарактеризованы типичные проблемы, на решение которых направлялись усилия многих участников семинара. Среди них, например, упомянутая в предыдущем абзаце проблема конечного базиса, проблема классификации многообразий с теми или иными ограничениями на решетку их подмногообразий и целый ряд других важных проблем. Много существенных результатов было получено участниками семинара в каждом из пяти указанных направлений.

Но содержание упомянутого доклада не ограничилось рамками объявленной темы "Многообразия алгебраических систем": в докладе была обрисована и общая картина деятельности семинара на протяжении 34 лет. Последующий текст данной заметки отражает эту, вторую, часть доклада. Семинар "Алгебраические системы" начал работу в Уральском университете в ноябре 1966 года. К тому времени вокруг пишущего эти строки сгруппировалось несколько более молодых исследователей - и возникла обычная в таких случаях потребность помимо индивидуальных бесед с каждым регулярно встречаться всем вместе для обсуждения получаемых результатов и вообще для обсуждения проблематики. Позднее в традицию семинара вошло также обсуждение тезисов докладов, посылаемых его участниками на различные крупные конференции. Немалое внимание уделялось и воспитанию у молодых исследователей умения делать научные доклады. Вначале на семинаре было около 10 постоянных участников. В последующие годы их число доходило до 20-25. Пик, по-видимому, пришелся на 80-е годы, когда на отдельных заседаниях присутствовало до 30 человек. С середины 80-х годов среди постоянных участников семинара, наряду с учениками руководителя семинара, появились и ученики его учеников. Число таких "научных внуков" с тех пор неуклонно возрастает; их подготовкой успешно занимаются В. А. Баранский, Ю. М. Важенин, М. В. Волков, Е. В. Суханов.

Объектом рассмотрений в семинаре служит ряд основных типов алгебраических систем: полугруппы, группы, кольца, решетки и некоторые другие. В последнее время тематика семинара обогатилась некоторыми вопросами, которые принято относить к дискретной математике, в частности вопросами дискретной оптимизации. Исследования в семинаре ведутся по целому ряду направлений. Теория многообразий составляет одну из наиболее заметных линий, об исследованиях в этом направлении кратко сказано выше. Подробнее об исследованиях в семинаре рассказано в статье [5], где среди прочего перечислены все диссертации, защищенные участниками семинара до 1999 года; к настоящему времени защищено 45 кандидатских и 8 докторских диссертаций.

За годы существования семинара его участниками опубликовано более 600 статей и более 500 тезисов докладов на различных конференциях, главным образом всесоюзных и международных. При этом более 270 статей напечатано в центральных отечественных математических журналах, более 130 - в международных журналах или трудах международных конференций, более 110 - в "Математических записках Уральского университета" (выходивших в 60-80-х годах). Отмечу обобщающие публикации по областям исследований, которым в семинаре уделялось особенно большое внимание и в которые участники семинара внесли заметный (а в некоторых вопросах - определяющий) вклад. Это обзорные статьи [6]-[13], а также монографии [14] и [15]; вторая из монографий представляет собой не просто английский перевод, а модифицированную и расширенную версию первой. Несколько из упомянутых обзорных статей, как непосредственно видно по их названиям, посвящены проблематике тождеств и другим аспектам теории многообразий. В указанных трудах обозреваются все основные достижения в соответствующих областях, принадлежащие многочисленным авторам из разных стран. Глава [16] справочной монографии по общей алгебре посвящена алгебраической теории полугрупп в целом и дает имеющий энциклопедический характер развернутый очерк этой теории (включая приложения к теориям формальных языков, автоматов и кодов) по состоянию на начало 90-х годов. Аналогичный характер имеют более ранние публикации автора данной заметки в Большой советской энциклопедии (3-е изд.) и пятитомной Математической энциклопедии (1977-1985): для первой была написана статья "Полугруппа", для второй - цикл из 40 статей по теории полугрупп. Недавно несколькими участниками семинара (М. В. Волковым, А. П. Замятиным и И. О. Коряковым) под руководством и при участии автора данной заметки подготовлен цикл из 11 статей для однотомной энциклопедии "Дискретная математика", выход которой ожидается в 2001 году.