Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата



Итак, необходимо расширить множество R действительных чисел до большего множества *R, содержащего бесконечно малые, сохранив при этом все полезные свойства R. Центральный вопрос состоит в том, какие именно свойства действительных чисел мы желаем сохранить. Ответим на этот вопрос не сразу, начав с наиболее простых свойств действительных чисел.

Прежде всего, мы хотим, чтобы гипердействительные числа можно было складывать, умножать, вычитать и делить, чтобы эти операции обладали обычными свойствами, называемыми «аксиомами поля». Сформулируем их.

Среди гипердействительных чисел должны быть выделены числа 0 и 1; определены операции сложения, умножения взятия противоположного, а также операция взятия обратного. При этом должны выполняться такие свойства:

(1) a+b=b+a  (2) a+(b+c)=(a+b)+c (3) a+0=a (4) a+(-a)=0  (5) ab=ba

(6) a(bc)=(ab)c (7) a*1=a (8) a(b+c)=ab+ac  (9) a*(1/a)=1 при a<>0.

Множество с операциями, обладающими этими свойствами, называется полем. Требования (1)-(9) можно сформулировать так: *R должно быть полем.

Кромеарифметических операций, зададим на гипердействительных числах порядок. Для любых двух различных гипердействительных чисел должно быть определено какое из них больше. При этои должны выполняться такие свойства:

b, b>c, то a>c

b, то a+c>b+c для любого с

b, c>0, то ac>bc

b, c<0, то ac<bc

Поле, в котором введен порядок с такими свойствами, называется упорядоченным полем. Требования (10)-(12) можно сформулировать так: *R должно быть упорядоченным полем.

Мы хотим, чтобы среди гипердействиетльных чисел были все действительные. При этом операции и порядок на R и на *R должны быть соглсованы. Это требование можно сформулировать так: упорядоченное поле *R должно быть расширением упорядоченного поля R.

Что же нового мы ожидаем от *R? Бесконечно малых.

Определение. Элемент e>=0 упорядоченного поля называется бесконечно малым, если e<1, e+e<1. e+e+e<1 и т.д. Отрицательное e называется бесконечно малым, если –e бесконечно мало.

Существование ненулевых бесконечно малх равносильно нарушению аксиомы Архимеда для гипердействительных чисел. Упорядоченные поля, в которых справедлива аксиома Архимеда и нет бесконечно малых, называют архимедово упорядоченными. Те поля, в которых аксиома Архимеда невернаи есть бесконечно малые, называют неархимедово упорядоченными (неархимедовым).

В этих терминах треюования можно сформулировать так: система гипердействительных чисел должна быть неархимедово упорядоченным полем, являющимся расширением упорядоченного поля действительных чисел.

4. Гипердействительная прямая

Предположим, что неархимедово расширение упорядоченного поля действительных чисел существует. Исследуем его свойства.

Пусть *R – неархимедово расширение R. Его элементы называются гипердействительными числами. Среди них содержатся и все действительные числа. Для отличия тех гипердействительных чисел, которые не являются действительными (элементы R) назовем их стандартными, а остальнгые гипердействительные (элементы *RR) – нестандартными. Тогда бесконечно малые являются нестандартными, так как среди действительных чисел бесконечно малых нет.

Бесконечно малые положительные числа меньше всех стандартных положительных чисел. Аналогичным образом отрицательные бесконечно малые числа больше всех стандартных отрицательных чисел. Таким образом, если пытаться изобразить бесконечно малые числа на числовой прямой, то пришлось бы втиснуть их настолько близко к нулю, чтобы все положительные стандартные числа оказались справа, а отрицательные – слева.

Указанное свойство может служить определением бесконечной малости: если число e>0 меньше всех стандартных положительных чисел, то оно бесконечно мало.

Определение. Гипердействительное число А>0 называется бесконечно большим, если А>1, А>1+1, А > 1+1+1, .…(Отрицательное число В называется бесконечно большим, если таков его модуль)

Положительное бесконечно большое число А больше любого стандартного.

Аналогичным образом всякое отрицательное бесконечно большое гипердействительное число меньше любого стандартного.

Определение. Гипердействительные числа, не являющиеся бесконечно большими, будут называться конечными.

Утверждение. Если s – конечное гипердействительное число, то найдутся стандратное v и бесконечно малое e, для которых s=v+e. Такое представление единственно.

Определение. Стандартной частью st(x) конечного гипердействительного числа x называется такое стандартное v, что x=v+e для бесконечно малого e.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: изложение материала, решебник 11 класс.

Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата