О развитии математики в XIX столетии. Гамильтон.

Христиан Феликс Клейн

Гамильтон

Вильям Роуан Гамильтон родился в 1805 г. в Дублине. Как и Сальмон, он вышел из Тринити-колледжа, который блестяще окончил в ранней молодости. Уже в 1827 г. он получил почетную и видную должность директора обсерватории в Денсинке близ Дублина со званием королевского астронома Ирландии. Пост этот он сохранял до конца своей жизни (1865 г.)

Гамильтон обладал необычайной по блеску, многогранной одаренностью, замечательнейшим образом проявившейся уже в ранние его годы. В десятилетнем возрасте он наизусть знал Гомера, начал изучать арабский язык и санскрит; уже через несколько лет он знал тринадцать языков, которыми владел в совершенстве. При этом он имел столь же сильно развитые художественные наклонности; до самых поздних лет он был весьма плодовитым поэтом и в течение всей жизни находился в дружеских отношениях с Водсвортом. Тот, кто хотел бы поближе познакомиться с личностью Гамильтона и с историей его развития, с удовольствием прочтет толстую трехтомную биографию, опубликованную в 1882-1889 гг. Р.П. Грейвзом. Однако, будучи написана не математиком, она более посвящена Гамильтону как человеку, нежели как ученому. О конце жизненного пути Гамильтона в ней нет никаких подробностей. Как мне рассказывали в Дублине, в свои последние годы он вел себя странно, чтобы не сказать безумно; видимо, его слишком рано развившийся ум быстро перенапрягся и исчерпал себя раньше, чем об этом можно было бы подумать судя по его возрасту. Творчество Гамильтона обладает характерной чертой - всюду в его работах рассыпаны новые, остроумные наметки, которые затем теряются среди подробностей, так и не приводя ни к какому полному, завершенному результату.

Как и все прочее, математический творческий процесс начался у Гамильтона в очень раннем возрасте. Примерно с 1824 по 1825 г. он занимался проблемами геометрической оптики и аналитической механики. Его достижения в этих областях мы рассмотрим несколько позже.

Начиная с 1833 г. он все более углубляется в рассмотрение сущности алгебраической алгорифмики. Его идеи в этом направлении были впервые изложены в работе "Theory of conjugate functions or Algebraic Couples; with a preliminary and elementary essay on Algebra as the Science of pure time" ("Теория сопряженных функций или алгебраических пар; с предварительным и элементарным рассуждением об алгебре как науке о чистом времени"), опубликованной в 17-м томе "Transactions of Royal Irish Academy" за 1833 и 1836 гг. (см. стр 293 и далее).

Как это и следует из названия, понятие числа рассматривается здесь как нечто такое, для чего существенным является время, а не пространство, потому что сначала речь идет об одной лишь идее следования - мысль эта идет от Канта, но Гамильтон прослеживает ее несколько дальше. Количественное, пространственное, с точки зрения Гамильтона, входит в круг наших представлений лишь с введением вычитания, благодаря которому становится возможным измерение. Затем разбирается запись x + iy; действия над комплексными числами - как это теперь принято называть повсеместно - он трактует как оперирование по некоторым, вводимым по соглашению, правилам с числовыми парами (x, y). Вслед за этим идут общие аксиоматические рассмотрения, касающиеся обычных арифметических действий, похожие на более поздние конструкции Грассмана.

С этого времени Гамильтон с все большим интересом занимается вопросом о том, возможно ли - путем введения каких-либо новых комплексных чисел - перенести на случай пространства, т.е. на случай нашего обычного R3, оказавшуюся такой полезной геометрическую интерпретацию (на плоскости) действий над числами вида x + i y. Его неустанные усилия в конце концов привели его в 1843 г. к открытию кватернионов - специально устроенных четырехчленных чисел, исследованию и распространению которых он с этого момента полностью посвятил всего себя. Теория этих чисел изложена им в следующих двух обстоятельных трудах:

1. "Lectures on Quaternions" ("Лекции о кватернионах"), Дублин, 1853 г.

2. "Elements of Quaternions" ("Элементы теории кватернионов"), Лондон, 1866 г. (посмертное издание).

Очень скоро в математическом Дублине интерес к кватернионам стал превалировать над всем остальным; по ним был установлен специальный экзамен, и без их знания немыслимо было окончание колледжа. Сам Гамильтон сделал их чем-то вроде ортодоксальной части своего математического кредо и подгонял под них все свои геометрические и прочие интересы тем сильнее, чем больше к концу жизни стоновился односторонним и омрачался действием алкоголя его ум.

Как я уже отмечал, вокруг Гамильтона сложилась школа, которая в своей жесткости и нетерпимости превзошла даже своего учителя. Она ничего не могла вызвать, кроме противодействия, и потому кватернионы - например, в Германии - встречали упорное сопротивление со стороны большинства математиков, пока они все-таки кружным путем, через физику, не проникли в виде векторного анализа, необходимого в первую очередь в динамике. И если бы нам нужно было высказать о них сегодня наше суждение, то пришлось бы сказать нечто вроде того, что кватернионы хороши и полезны на своем месте, но что все же они не имеют такого значения, которое имеют обычные комплексные числа.

И если теперь я расскажу о кватернионах - как я их уяснил себе с течением времени - несколько более подробно, то я буду придерживаться при этом привычных нам идей и буду сознавать, что я не только становлюсь на точку зрения, резко противоположную позиции гамильтонианцев, учитель которых придал всоему открытию совсем другой внешний облик, но что с точки зрения этой партии я и сейчас не имею права называть кватернионами то, о чем я собираюсь говорить (и что более подробно изложено в первой тетради "Теории волчка"). Однако я слишком часто убеждался в тщетности попыток добиться здесь какого-либо взаимопонимания, чтобы принимать в расчет эти возражения.

Я буду исходить из геометрической интерпретации чисел вида x + i y на плоскости. Как известно, число x + i y обозначает как точку с координатами x и y, так и отрезок, соединяющий эту точку с началом координат. Сложение

(x + i y) + (a + i b) = (x + a) + i (y + b)

изображается сложением двух направленных отрезков, а значит, может быть интерпретировано как параллельный перенос всей плоскости на отрезок (a + i b). Умножение же

вызывает вращение плоскости вокруг начала координат на угол с одновременным удлинением всех отрезков в отношении , то есть является сочетанием гомотетии с вращением, или, как мы будем говорить, - растяжением с вращением (Drehstreckung).

Таким образом, сложение и умножение, взятые совместно, охватывают совокупность всех возможных движений плоскости и даже - с учетом растяжения - несколько больше. Отсюда и вытекает целесообразность применения в вопросах метрической геометрии алгебраических вычислений с привычными для нас комплексными числами.

А теперь возникает вопрос о том, каким образом при помощи надлежащих действий над какими-нибудь комплексными числами более высокого типа могут быть изображены соответствующие преобразования в случае пространства. Для начала можно попытаться рассмотреть какое-нибудь трехчленное выражение, обозначая посредством точку с координатами x, y, z или же отрезок - а мы говорим: вектор, соединяющий эту точку с началом координат. (Термин "вектор" впервые появляется у Гамильтона, в "Quarterly Journal", 1845, т. I, стр. 56.).

Как и в случае плоскости, сложение двух таких векторов изображает параллельный перенос пространства. Но с умножением дело обстоит иначе. Именно, вращение вокруг начала координат в пространстве определяет некоторую ось, и потому растяжение с вращением, которое в случае плоскости требовало двух констант, в пространстве может быть охарактеризовано лишь четырьмя параметрами:

два из них определяют направление оси вращения: , причем ;

один описывает угол поворота и

один описывает растяжение r.

Гамильтон строит четырехчленный агрегат - кватернион:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конфликт реферат, реферат безопасность.





1  2  3  4 | Следующая страница реферата