Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу

Определение:  Элемент наилучшего приближения – L – линейное  многообразие, плотное в E. "e "xÎE $u: ║x-u║<e

Теорема:  Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема:  Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема:  Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LÌE, "eÎ(0,1) $zeÎEL ║ze║=1 r(ze,L)>1-e

Определение:  Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.

Теорема:  О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.

Определение:  Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.

Теорема:  Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.

Определение:  L плотное в E, если "xÎE $uÎL: ║x-u║<e

Теорема:  Чтобы L было плотно в H ó ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента. 

Определение:  Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.

Определение:  Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.

Определение:  Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy

Определение:  Непрерывный оператор – AxàAx0 при xà x0

Определение: L(X,Y) – пространство линейных операторов

Теорема:  Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем  X.

Определение:  Ограниченный оператор - "║x║≤1 $с: ║Ax║≤c

Теорема:  A – ограниченный ó "xÎX ║Ax║≤c║x║

Теорема:  Для того чтобы А был непрерывен ó чтобы он была ограничен

Теорема: {An} равномерно ограничена è {An}- ограничена.

Теорема:  {Anx} – ограниченно ó {║An║}- ограничена.

Определение:  Сильная (равномерная) сходимость ║An-A║à0,  nà¥, обозначают AnàA

Определение:  Слабая сходимость - "xÎX ║(An-A)x║Yà0, nà¥

Теорема:  Для того, чтобы имела место сильная сходимость ó {An} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1

Теорема:  Банаха-Штенгауза AnàA nॠслабо è 1) {║An║}- ограничена 2) AnàA, x’ÌX, x’=x

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат по химии, преступление реферат.





1  2  3 | Следующая страница реферата