Площадь поверхности тел вращения

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: доклад по биологии, человек изложение
| Добавил(а) на сайт: Яким.

Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери
(1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы).

В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой y =[pic], где N - целое (т. е. вывел формулу [pic][pic]), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И.
Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов.

[pic]

Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано:

дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии
(в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И.
Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский
(1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке,
Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры.

[pic]

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и А.
Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.)

ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.

Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой y=f(x) вокруг оси Ох.

Определим площадь этой поверхности на участке а ? х ? b. Функцию f(x) предположим непрерывной и имеющей непрерывную производную во всех точках отрезка [a;b]. Проведем хорды АМ1, М1М2,….Мn-1B длины которых обозначим через ?S1, ?S2… ?Sn (рис. 1). Каждая хорда длины ?Si (i=1,2,….n) при вращении опишет усеченный конус, поверхность которого ?Pi равна:

Применяя теорему Лагранжа получим:

,где

Следовательно

Поверхность, описанная ломанной, будет равна сумме

, или сумме

, (1)

распространенной на все звенья ломаной.

Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной ?Si стремится к нулю, называется площадью, рассматриваемой поверхности вращения. Сумма (1) не является интегральной суммой для функции

(2)

, так как в слагаемом, соответствующем отрезку [xi-1, xi ], фигурирует несколько точек этого отрезка xi-1, xi ,?i.. Но можно доказать, что предел суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для функции (2), т.е.

или

(3)