Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

«вправо», если а>0, и «влево», если а0, и «вниз», если b0, p?1) вдоль оси 0X относительно 0Y точка (x; y) переходит в точку (px; y); б) При растяжении (сжатии) в q раз (q>0, q?1) вдоль оси 0Y относительно 0X точка (x; y) переходит в точку (x; qy);
Применительно к графикам функций эти свойства дают те конкретные геометрические преобразования (табл. 1), использование которых позволяет из известного графика функции y=f(x) строить графики других функций (рис. 1 -
11).

Таблица №1

[pic]

Рассмотрим несколько примеров построения графиков функций:

Пример 1. График функции y=2x-3 получается из графика y=2x при помощи параллельного переноса его вдоль оси 0Y вниз на отрезок длины 3.
Переписав 2x-3 в виде 2(x-3/2), замечаем, что график функции y=2(x-
3/2) можно получить из графика функции y=2x при помощи

параллельного переноса его вдоль оси 0X вправо на отрезок длины 3/2 (рис.
12).

Пример 2. График функции y=4x2 получается из графика функции y= x2 растяжением последнего в 4 раза вдоль оси 0Y относительно оси 0X. Переписав
4x2 в виде (2x)2 , замечаем, что график функции y= x2 можно получить из графика функции y= x2 сжатием последнего в 2 раза вдоль оси 0X относительно оси 0Y (рис. 13).

Пример 3. График функции y= 2x-3 получается из графика y= 2x при помощи параллельного переноса его вдоль оси 0X вправо на отрезок длины 3.
Переписав 2x-3 в виде(1/8)*2x , замечаем, что график функции y=(1/8)*2x можно получить из графика функции y=2x сжатием последнего в 8 раз вдоль оси 0X (рис. 14).

Пример 4. Построить график функции: y=1/2arctg(i/4-x)
Решение: построение графика данной функции может быть проведено по следующей схеме (рис. 13): arctg > arctg(-x) > 1/2arctg(-x) > 1/2arctg(-(x-1/4)).

Пример 5. Построить график функции: y=ax2 +bx+c, a?0.
Решение: квадратный трехчлен ax2+bx+c можно записать в виде a(x+(b/2a))2+(4ac-b2)/4a. Отсюда видно, что график функции y=ax2
+bx+c, получается из параболы y=x2 по следующей схеме: x2> ax2> ax2+(4ac- b2 )/4a > a(x+b/(2a))2 +(4ac-b2 )/4a т.е. для построения графика y=a x2+bx+c надо:
1. Растянуть в |а | раз, если |а | >1 (сжать |1/а | раз, если |а | (x-5/2)2 -1/4= x2 -5x+6

На рисунке изображен график функций y=| x2-5x+6|

Иногда функция, график которой должен быть построен, представляется как сумма двух простейших функций, графики которых нам знакомы или легко могут быть построены. В этом случае можно применить приём графического сложения ординат этих графиков (для краткости говорят просто о сложении графиков.) покажем этот приём на примерах.

Пример 1. Построить график функций y=x3 +2x+2.
Решение: можно представить данную функцию как сумму функций y=x3 и y=-2x+2, графики которых нам хорошо знакомы. Они изображены на рис. 16 тонкими линиями: это прямая y=-2x+2 и кубическая парабола y=x3. Далее производится суммирование ординат: к ординатам точек кубической параболы прибавляются (с учетом знака!) ординаты точек прямой. При выполнении этой операции удобно пользоваться мерительным циркулем; следует использовать наиболее важные и характерные точки каждого из графиков (в нашем примере – вершину O(0; 0) параболы, точки пересечения прямой с осями и т.д.). Итогом построения служит график, показанный жирной линией. Мы можем много сказать о функции: она имеет максимум и минимум, обращается в нуль в одной точке и т.д.
Положение этих характерных точек её графика мы могли бы найти приближенно по чертежу.

Пример 2. Построить график функций y=2ч-2x.
Решение: график данной функции можно получить сложением графиков показательной функции y=2x и линейной функции y=-2x. Это сделано на рис.
17. График пересекает ось OX в точках x=1, x=2, являющихся нулями функции y=2ч-2x.

Обратим ещё внимание на то, что прямая y=-2x является асимптотой графика
(т.к. при x, стремящимся к минус бесконечности, разность между значениями функций y=2ч-2x и y=-2x стремится к нулю). Из построения видно, что функция имеет точку минимума, найти её точное положение для нас затруднительно.

Пример 3. Построить график функций y=x2-x4.
Решение: график может быть построен вычитанием ординат графика y=x4 из ординат графика y=x2 (рис. 18). В данном случае полезно дополнить это построение некоторым общим исследованием свойств функции y=x2-x4. Ясно, что функция определена для всех значений x и является четной. Она обращается в нуль при x=0, x= ±1. Как видно из построения графика методом вычитания, следует ожидать у функции наличия двух точек максимума. В данном случае их нетрудно найти; преобразуем выражение функции: y=x2-x4=1/4-(1/4- x2+x4)=1/4-( x2-1/2) 2 .
Теперь видно, что наибольшее значение y=1/4 функция имеет при х=±1/(2.
Точка x=0 является точкой минимума данной функции (но значение функции в этой точке, равное нулю, не есть её наименьшее значение).
(книга 2)

Используя геометрические преобразования, рассмотренные выше, в их различных комбинациях, можно построить и графики более сложных функций.

Пример1. Построить график функций y= |||x |- - 1| -2|
Решение: график данной функции можно построить по графику функции y=|| x|
-1| , если последний параллельно перенести вдоль оси 0Y вниз на отрезок длины 2, а затем эту часть полученного графика функции y= ||x |- - 1| -2, которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично отобразить относительно оси 0X. График функции y= ||x |- - 1| можно построить по графику функции y= |x|- если последний параллельно перенести вдоль оси 0Y вниз на отрезок длинны 1, а затем ту часть полученного графика функции y=
|x|- - 1, которая расположена в нижней плоскости, симметрично отобразить относительно оси 0X.

Таким образом, график заданной функции может быть построен согласно схеме: x>|x|>|x|--1>||x|--1|> ||x|--1|--2>|||x|--1|-2|

§3. Применение производной к построению графика функции

Графики функций строятся по точкам. Обычно из уравнения y=f(x) находят несколько точек графика функций y=f(x) и соединяют эти точки плавной кривой. Однако при таком методе легко пропустить какие-то особенности графика и допустить ошибку в построении.

Для построения графика функции нужно исследовать её свойства. Прежде всего надо найти область определения функции, а потом исследовать функцию на честность и периодичность. Т.к. график четной функции симметричен относительно оси Оу, а график нечетной - относительно начала координат, то для четных и нечетных функций можно ограничится исследованием их свойств лишь при х?0. Если периодическая и Т – её основной период, то можно ограничится исследованием свойств функции на промежутке длинны Т.

Далее полезно найти точки пересечения графика с осями координат и определить интервалы знакопостоянства функции. Дело в том , что если, скажем, на интервале (a; b) функция y=f(x) принимает только положительные значения, то график её на этом интервале лежит выше оси Ох. Значит, часть плоскости, лежащею под указанным интервалом, можно заштриховать – там графика нет. Эта часть исследования позволяет указать области, где может лежать график функции. После этого можно изучить поведения функции на границах области определения, установить характер точек разрыва (если они есть), найти асимптоты. Наконец следует найти промежутки возрастания и убывания функции и исследовать её на экстремум.

Подводя итог всему сказанному выше, получаем следующую схему исследования свойств функции и построения ее графика.

1. Найти область определения функции,

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: защита реферата, дипломная работа совершенствование.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата