Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

Подставляя х', у' и z', найденные из (8), в левую часть (7) и заменяя затем

a´11  на  a11 , а´22  на а22 , а´34 на p и  а´44 на q , получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Oxyz :

a11х2 + а22у2 + 2pz + q = 0                   (9)

1) Пусть р = 0, q = 0. Поверхность S распадается на пару плоскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a11 и а22  одинаковы, и вещественными, если знаки a11 и а22 различны.

2) Пусть р = 0, q ≠ 0. Уравнение (9) принимает вид

a11х2 + а22у2 + q = 0                   (10)

Известно, что уравнение (10) является уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси Оz. При этом если a11 , а22 , q имеют одинаковый знак, то левая часть (10) отлична от нуля для любых х и y, т. е. цилиндр будет мнимым. Если же среди коэффициентов a11 , а22 , q имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет вещественным. Отметим, что в случае, когда a11 и а22  имеют  одинаковые знаки, a q — противоположный, то величины положительны.

 

Обозначая их соответственно через а2 и b2, мы приведем уравнение (10) к виду

Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр. В случае, a11 и а22 имеют различные знаки, мы получим гиперболический цилиндр. Легко убедиться, что уравнение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду

3) Пусть р≠0. Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами

(0, 0,         ).

При этом оставим старые обозначения координат х, у, z. Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверхности S в новой системе координат, достаточно заменить в уравнении (9)

 

Получим следующее уравнение:

a11х2 + а22у2 + 2pz = 0             (13)

Уравнение (13) определяет так называемые параболоиды. Причем если a11 и а22 имеют одинаковый знак, то параболоид называется эллиптическим. Обычно уравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме:

Уравнение (14) легко получается из (13). Если a11 и а22 имеют разные знаки, то параболоид называется гиперболическим. Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид

Это уравнение также легко может быть получено из (13).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: банк рефератов бесплатно, конспект по чтению.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата