Приближенное вычисление корней в уравнения
| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: антикризисное управление предприятием, доклад по истории на тему
| Добавил(а) на сайт: Artemija.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 | Следующая страница реферата
хn+1= xn-(b- xn)*f(xn)/f(b)-f(xn) (4)
Для оценки погрешности соответсвующих приближений воспользуемся формулой Лагранжа:
f(xn)-f(E)=f`(c)*( xn-E) (xn<c<E)
или, поскольку
f(E)=0: f(xn)=f`(c)( xn-E),
откуда:
xn-Е= f(xn)/ f`(c)
Если обозначить через m наименьшее значение |f`(х)| на рассматриваемом отрезке, то для оценки погрешности получим формулу:
|xn-E|<|f`( xn)|/m (5)
Эта формула, заметим, совершенно не связана со способом отыскивания величин xn и, следовательно, приложила к приближённым значениям корня, получаемым любым методом. Формула (5) позволяет судить о близости xn к Е по величине значения f(xn). Однако в большинстве случаев она даёт слишком грубую оценку погрешности, т. е. фактическая ошибка оказывается значительно меньше.
Легко доказать, что последовательность приближений:
x1,x2,x3,…xn,… (6)
для корня Е, получаемых по способу хорд, всегда сходится к Е. Из случая, рассматривающегося выше, мы видим, что последовательность (6) - монотонная и ограниченная. Поэтому она имеет некоторый предел n<E. Переходя к пределу в равенстве (4), в силу непрерывности f(x) получим:
n=n-(b-n)f(n)/f(b)-f(n)
откуда F(n)=0. Так как f(x) возрастает на отрезке [a, b], то уравнение f(х)=0 имеет единственный корень, и этим корнем по условию является Е. Поэтому n=E, т. е. lim xn=E.
Пример № 1. Методом хорд найдём положительный корень уравнения
х^4-2х-4=0
с точностью до 0,01.
Решение:
Положительный корень будет находиться в промежудке (1; 1,7), так как f(1)=-5<0, а f(1,7)=0,952 >0
Найдём первое приближённое значение корня по формуле (2):
х1=1-91,7-1)* f(1)/ f(1,7)- f(1)=1,588;
так как f(1,588)=-0,817<0, то, применяя вторично способ хорд к промежутку (1,588; 1,7), найдём второе приближённое значение корня:
х2= 1,588-(1,7-1,588) f(1,588)/ f(1,7)- f(1,588)=1,639;
f(1,639)=-0,051<0.
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: шпоры по истории, сочинения по русскому языку.
Категории:
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 | Следующая страница реферата
Главная