Claw.ru | Рефераты по математике | Применение теоремы Эйлера к некоторым задачам Применение теоремы Эйлера к некоторым задачам | Категория реферата: Рефераты по математике | Теги реферата: реферат книга, как написать дипломную работу | Добавил(а) на сайт: Nozdrjov. Предыдущая страница реферата | 1  2

Из формулы (1) и теоремы Эйлера, применённой к системе точек и дуг красного цвета, следует, что

которое показывает, что a≥4. Остаётся заметить, что если некоторая страна на чёрной карте имеет больше пяти соседей, то из отмеченной в этой стране красной точки выходит больше пяти дуг, и потому, в силу неравенства a≥4, на чёрной карте найдутся четыре страны, каждая из которых имеет не больше пяти соседей.

Задача4. Можно ли семиугольник разрезать на выпуклые шестиугольники?

Решение. Предположим, что какой-то семиугольник удалось разрезать на выпуклые шестиугольники. Обозначим число тех вершин шестиугольников, которые лежат внутри исходного семиугольника, через m, а число оставшихся вершин (то есть лежащих на границе семиугольника) — через m'. В качестве дуг, соединяющих вершины, выберем прямолинейные отрезки сторон многоугольников, удовлетворяющие следующему условию: отрезок должен соединять две вершины и не проходить через остальные вершины. Обозначим через n число таких дуг и через l — число областей, на которые эти дуги делят плоскость (число l на единицу больше числа шестиугольников). Ясно, что любые две вершины окажутся соединёнными цепочкой дуг. В силу теоремы Эйлера

Так как внешняя область ограничена m' дугами, а каждая из остальных — не менее чем шестью дугами, то

Из некоторых вершин на границе семиугольника выходят только две дуги. Обозначим число таких вершин через a. Из всякой другой вершины выходят по крайней мере три дуги, так что

3m + 3(m' – a) + 2a ≤ 2n.

Отсюда в силу равенства(3)

n ≤ 3l + a – 6.

Сравнивая это неравенство и неравенство(4), мы получаем

Так как на границе семиугольника найдутся по крайней мере две вершины, из которых выходят дуги, ведущие внутрь семиугольника, то m' – a ≥ 2. Из этого неравенства и неравенства (5) следует, что a ≥ 8.

С другой стороны, так как семиугольник разрезан на выпуклые многоугольники, то всякая вершина, из которой выходят две дуги, является вершиной семиугольника, и потому a ≤ 7. Таким образом, семиугольник нельзя разрезать на выпуклые шестиугольники.