Проективная геометрия

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: в контакте сообщения, реферат памятники
| Добавил(а) на сайт: Jarchikovskij.

1. Какие бы ни были две точки А и В всегда существует прямая, проходящая через них.

2. Какие бы ни были две различные точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через них.

3. На каждой прямой имеется не менее трех точек. Существует по крайней мере 3 точки, не лежащие на одной прямой.

4. Через каждые три точки А, B, C не лежащие на одной прямой, проходит некоторая плоскость a . На каждой плоскости имеется не менее одной точки.

5. Через каждые три точки А, B, C не лежащие на одной прямой, проходит не более одной плоскости.

6. Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости a , то каждая точка прямой а лежит в плоскости a .

7. Если две плоскости a и b имеют общую точку А, то они имеют еще по крайней мере одну общую точку.

8. Имеется не менее четырех точек, не лежащих на одной плоскости.

9. Каждые две прямые, расположенные в одной плоскости имеют общую точку.

Эти аксиомы повторяют аксиомы обычной евклидовой геометрии за исключением пункта 1.9, которого там нет.

2.Аксиомы порядка:

В элементарной геометрии в основу определения порядка следования точек на прямой заложено понятие о расположении точки между двумя другими точками. Т. е. если есть две точки А и В то обязательно найдется точка С на прямой А В, лежащая между А и В.

Такой порядок расположения точек является основой введения координат точек на прямой (в дальнейшем на плоскости и в пространстве), т.е. позволяет сделать отображение взаимного расположения точек на множество действительных чисел, ввести единицу измерения.

В проективной геометрии прямая есть замкнутая в бесконечности линия, поэтому нельзя в определение порядка положить принцип: что при заданных А и
В найдется точка С между ними, определяющая порядок следования точек на прямой как А, В, C. И все-таки, какое-то определение порядка точек на проективной прямой необходимо сделать хотя бы для введения ней системы координат, определения проекции фигур в вычислительной геометрии или машинной графике.

На прямой в обычной евклидовой геометрии положение точек можно было характеризовать одним числом, одной координатой, отсчитываемой в некотором масштабе от точки, принятой за ноль. Так как в проективной геометрии бесконечно удаленная точка является равноправной с любой другой точкой, то уже невозможно одним числом представить координату этой бесконечно удаленной точки.

Здесь уже, на проективной прямой исходят из рассмотрения взаимного расположения двух пар точек.

Пусть A и B, C и D две пары точек, расположенные на проективной прямой (рис.5). Тогда чтобы совместить точку C с другой точкой своей пары, т.е. CD мы при движении ее по прямой обязательно встретимся в какой-то момент с т. A или т. B. Аналогично, чтобы совместить B с A, при движении точки B она когда-нибудь совпадет с C или D. В таком случае говорят, что пара точек A и B разделяет пару точек C и D. На этом основаны аксиомы порядка и введения координат на проективной прямой.

1. Каковы бы ни были три различные точки A, B, C произвольной прямой U, на этой прямой существует такая точка D, что пара A, B разделяет пару C, D.

2. Если пара A, B разделяет пару C, D; пара C, D разделяет пару A, B.

3. Каковы бы ни были четыре различные точки A, B, C, D прямой из них могут быть всегда единственным образом составлены две раздельные пары.

Аксиомы 2.4, 2.5 касаются взаимного расположения пяти точек. Если пары С,D и C, E разделяют A, B, то D E не разделяет A, В (рис.6). Если C, D и C, E не разделяют A, B, то D, E не разделяет A, B (рис.7).

6. Пусть A, B и C, D две пары точек прямой U, A/, B/ и C/, D/ их проекции из какого угодно центра на произвольную другую прямую U/.

Тогда если пары A, B и C, D разделяют друг друга, то пары A/, B/ и

C/, D/ тоже разделяют друг друга.

Таким образом, разделенность двух пар точек есть свойство, инвариантное относительно проектирования. Это один из инвариантов проективной геометрии.