Разработка формальной системы

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: реферат на тему україна, база рефератов
| Добавил(а) на сайт: Angelika.

5. Операции на множестве объектов предметной области. Их семантика.
Будем рассматривать две бинарные операции: наложение (+) и склеивание (*); унарная операция: инверсия (()-1) и нульарные: операции слабой (0) и сильной (1) единицы.

Операция слабая единица - 0.
Данная операция - константа 0 представляет - собой картеж вида
(0,0,0,0)
Операция сильная единица - 1.
Данная операция - константа 1i - представляет собой один из картежей:

. (1, 0, -1, 0), при i =1;

. (0, 1, 0, -1) , при i =2;

. (-1, 0, 1, 0) , при i =3;

. (0, -1, 0, 1) , при i =4; где i определяет сторону с элементом «выпуклость».
Операция наложения.
Данная операция накладывает один пазл на другой, в результате чего получается новый пазл. Новый пазл образуется по следующему правилу:
Правило боковых граней: если на накладываемой стороне 1го пазла находится выпуклость, а у 2го пазла на соответствующей стороне - вогнутость, то результатом будет пустая сторона если на сторонах обоих пазлов находятся выпуклость (или вогнутость), то в результате получится сторона с выпуклостью (вогнутостью) если сторона одного из пазлов является пустой, то результирующая сторона будет иметь тот же элемент, что и сторона второго пазла вышесказанное можно отобразить формулами:

C = A + B: c’i = ai + bi ci = [pic] где i = [pic]
Операция наложения справедлива для любых пазлов.
Операция имеет вид:

С = А + В.
Примеры.
1) А = (0, 0, -1, 1),

В = (-1, 1, -1, -1).

A + B = C = (-1, 1, -1, 0), т.е.

Операция склеивания.
Данная операция склеивает два пазла для получения нового.
Операция выполняется не для всех пазлов, а только для тех, которые удовлетворяют условиям операции:

. склеиваемые стороны на должны бать пустыми и должны иметь противоположные элементы (т.е., например, 1й пазл – вогнутость (

2й пазл - выпуклость);

. разность между номерами склеиваемых сторон должна быть по модулю равна 2 (т.е., например, 1й пазл – 2 ( 2й пазл – 4: |2 - 4| = 2 );
Новый пазл получается следующим образом:

. звездочкой (*) указываются номера склеиваемых сторон;

. элементы сторон, противоположных склеиваемым сторонам, не изменяются;

. элементы двух других сторон образуются по правилу боковых сторон ;
Операция имеет вид: С = А1 * В3 = (а1*, а2, а3, а4) * (b1, b2, b3*, b4)
Пример.
А = (0, 1, -1, 0),
В = (-1, 1, 0, -1).
А2*В4 = (0, 1*, -1, 0) * (-1, 1, 0, -1*) = (-1, 1, -1,0), т.е.

Операция инверсия.
Данная операция инвертирует пазл, т. е. заменяет выпуклости вогнутостями и наоборот, в результате чего получается новый пазл. Операция имеет вид: С =
А-1.
Пример.
А = (0, 1, -1, 0)
А-1 = С = (0, -1, 1, 0), т. е.

6. Алгебраическая система.
Определение 7. Система трех множеств ? = называется алгебраической системой, где А – множество однотипных элементов, называемое носителем алгебры или базовым множеством, ? – множество операций с областью определения и областью значений в множестве А, R – множество отношений на элементах множества А.
Множество А представляет собой множество всех пазлов, представленных в виде картежей, описанных выше.
Сигнатура алгебры ? = { + , * , -1() , 0 , 1 }.
R = {”, =, =’, =”}
Согласно определению операций, мы получим пазл в виде картежа, описанного выше, значит мы получим элемент базового множества, что говорит о замкнутости операций.

7. Свойства операций.
Свойство единицы:
А + А-1 = А-1 +А = 1 – сильная единица:
Аi * 0 = 0 * Ai = A, i=[pic] - слабая единица;

Операция наложения.
1) Операция идемпотентна, поскольку для данной операции справедливо утверждение
A + A = A;
2) Операция коммутативна, поскольку для данной операции справедливо утверждение
A + B = B + A;
3) Операция не ассоциативна, поскольку для нее справедливо утверждение

A + (B + C) ( (A + B) + C.
Свойства по отношению к операции склеивание:
4) Операция не дистрибутивна слева, т. к. A + (B * C) ? (A + B) * (A + C)
5) Операция не дистрибутивна справа, т. к. (A * B) + C ? (A + C) * (B + C)

Операция склеивание.
Поскольку условие операции не выполняться для всех пазлов, то операция склеивания:
1) не идемпотентна
2) не коммутативна
3) не ассоциативна и по отношению к операции наложения:
4) не дистрибутивна слева
5) не дистрибутивна справа

8. Тип и класс полученной алгебраической системы.
Типом алгебраической системы является следующее множество
{ 0(0), 1(0), -1(1), +(2), *(2)}
Алгебра, содержащая бинарную операцию, есть группоид. Алгебра, содержащая бинарную операцию и единицу, называется группоидом с единицей. Алгебра (А,
+(2), 1(0)) является моноидом.
Алгебра (А, *(2), 1(0)) является группоидом с единицей.

9. Формальная логическая система с аксиоматикой свойств операций.
Построим формальную логическую систему на основе имеющейся алгебраической системы.
Предметные константы:
Константы 1 и 0 – соответствуют картежам, описанным выше.
Множество переменных:
{A1, A2,…,А81 } – множество картежей, обозначенных латинскими буквами. Вид картежа описан ранее.
Предикатные символы:
. Предикат W’ (A, B) соответствует отношению меньше по количеству выпуклостей алгебраической системы; выполняется, если А ” В.
. Предикат R’ (A, B) соответствует отношению равенства по количеству выпуклостей алгебраической системы; выполняется, если А =’ В.
. Предикат R” (A, B) соответствует отношению равенства по количеству вогнутостей алгебраической системы; выполняется, если А =” В.
. Предикат R (A, B) соответствует отношению равенства алгебраической системы; выполняется, если А = В.
Функциональные символы:
. f+ соответствует операции наложения.
. f2+ (A, B) ( A + B.
. F* соответствует операции склеивания.
. f2* (Ai, Bj) ( Ai * Bj, i,j=[pic], |i – j| = 2.
. f-1 соответствует операции инверсия.
. f-1 (A) ( (A)-1.