Развитие аналитической геометрии

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: реферат на тему деятельность, реферат беларусь
| Добавил(а) на сайт: Генкин.

АВ : BR = z : b, CR : CD = z : с и т. д., где z, b, с, ... суть данные отрезки (Декарт не вводит синусы углов). После этого нее нужные отрезки выражаются через x, у, z, b, с, ..., k,l, линейно относительно х и у:

CB = y, [pic], [pic] [pic] а условие CB·CF = CD·CH выражается уравнением второй степени без свободного члена, решение которого относительно у, после введения некоторых сокращенных обозначений, дает

[pic]

Однородность полученного уравнения объясняется принятыми для отношений сторон выражениями и, в сущности, не была в глазах Декарта обязательной
(ср. стр. 42), но представляла в данном случае то удобство, что в принципе позволяла сразу строить одни отрезки по другим. В приводимом несколько далее числовом примере однородность относительно буквенных величин не соблюдается в отличие от примера Ферма, в алгебре примыкавшего к Виету (ср. стр. 102).

Опираясь на теоремы I книги «Конических сечений» Аполлония, Декарт показывает, что полученное уравнение принадлежит коническому сечению, а в особых случаях, когда радикал обращается в нуль или корень извлекается нацело, оказывается прямой линией: в самостоятельном виде уравнение прямой отсутствует и о «вырождении» кривой второго порядка в пару прямых ничего не говорится. В ходе анализа выясняется, при каких знаках коэффициентов получаются парабола, гипербола и эллипс, в частности окружность, и определяются положение и форма конического сечения — в случае параболы

[pic] вершина, диаметр и «прямая сторона»[11], а в случае центральных кривых—центр вершины, «прямая сторона» и диаметры. Здесь же Декарт разбирает числовой пример, беря ЕА = 3, AG = 5, АВ = BR и т. д., а угол ABR равным 60°, так что уравнение есть уу = 2у — ху + 5x — хх: кривая при этом оказывается окружностью. Общее заключение гласит, что к первому роду принадлежат круг, парабола, гипербола и эллипс. Прямая не упоминается, — ее принадлежность к первому роду подчеркнул Дебон, который рассмотрел также случай, когда в уравнении нет членов с х2 и у2, но есть ху, оставленный
Декартом в стороне.

Вслед за тем Декарт изучает еще место к пяти прямым и специально случай, в котором четыре прямые суть эквидистанты АВ, IH, ED, GF, а пятая GA к ним перпендикулярна (рис. 9), причем CF·CD·CH = СВ·СМ·а, где а — расстояние между соседними эквидистантами. Здесь появляется первое в истории аналитической геометрии уравнение кривой третьего порядка. Обозначив СВ = у, СМ = х, Декарт находит у3 — 2ay2 — аау + 2а3 = аху, т. е. уравнение трезубца (см. стр. 106), и показывает, что эта кривая
CEG может быть, как он утверждал ранее, описана пересечением параболы CKN, диаметр которой KL = а движется по АВ, и линейки GL, вращающейся вокруг точки G и постоянно проходящей через точку L[12]. Он не упускает из виду, что искомым местом служит также кривая NIo, описанная пересечением GL с другой ветвью параболы (HKN), можно взять и сопряженные линии cEGc и пI0, получающиеся, если подвижная парабола обращена вершиной в другую сторону.
Чертеж в «Геометрии» недостаточно отчетливо изображает вторую часть трезубца, который состоит из двух отдельных линий, имеющих каждая — в терминологии Ньютона — гиперболическую ветвь с асимптотой АВ и параболическую ветвь, лишенную асимптоты. Как и должно быть, кривая пересекает на чертеже горизонтальную ось при значениях у = — а, у = а, у =
2а, но точка перегиба у части, лежащей справа от асимптоты, не обозначена.

Большое место занимают в «Геометрии» исследование оптических овалов, рассматриваемых в биполярных координатах, и проведение нормалей. Вторая книга сочинения завершается краткими замечаниями о возможности распространения метода на пространственные кривые посредством проектирования их точек на две взаимно перпендикулярные плоскости и заявлением: «Я полагаю теперь, что ничего не пропустил из начал, необходимых для познания кривых линий»[13].

Конечно, в этих словах Декарта, как и в приведенной выше авторской оценке «Введения» Ферма, было несомненное преувеличение. Но действительно, перед геометрией раскрывались невиданно широкие перспективы. Историки науки немало спорили о том, имелась ли у Аполлония аналитическая геометрия и было ли творчество Ферма и Декарта в этой области новаторским. Ответ зависит от определения термина «аналитическая геометрия», который, как отмечалось в другой связи, понимается по-разному. Несомненно, что оба ученых чрезвычайно многим обязаны были древним и что в саму теорию конических сечений они не внесли каких-либо новых теорем, а также не построили ее в чисто аналитическом плане. И вместе с тем Декарт и Ферма закладывали фундамент поистине новой геометрии, хотя «симптомы» Аполлония и соответствовали буквенным уравнениям кривых второго порядка.

Дело в том, что, как правильно писал Г. Цейтен, «геометрическая форма, приданная методом древних самой алгебре, была причиной многочисленных комбинаций между средствами и объектом геометрического исследования — комбинаций, которые должны были оставаться довольно чуждыми аналитической геометрии, в особенности поскольку последняя стремилась превратить геометрические проблемы целиком в задачи исчисления»[14]. И до тех пор, пока средством исследования оставалась геометрическая алгебра, синтетическое рассмотрение неизбежно переплеталось с аналитическим, а в глазах некоторых ученых являлось принципиально господствующим. Ньютон, завершая свой вывод теоремы о том, что место к четырем прямым есть коническое сечение, писал: «Такое решение, как приведенное выше, т. е. исполняемое не с помощью исчисления, но геометрическим построением, и изыскивалось древними»[15]. Между тем после Ферма и Декарта и благодаря им начинает развиваться чисто аналитический метод исследования геометрических образов, в принципе не нуждающийся в обращении к геометрическим построениям и опирающийся лишь на алгебраическое исчисление. Такова общая, идейная сторона дела. К этому следует добавить, что новая алгебра давала средства изучения кривых любого порядка, первые примеры чего имеются уже у
Декарта[16] (такое применение геометрической алгебры было невозможно), что система координат становилась свободной от связи с теми или иными исключительными точками и направлениями (например, диаметром и вершиной конического сечения), что приобретали право на существование отрицательные координаты и т. д. Мы не говорим уже о том, что в новой геометрии впервые нашло явное выражение понятие о функции, заданной формулой.

В свете сказанного второстепенное значение имеют недостатки, присущие аналитической геометрии Декарта и Ферма, пользовавшегося к тому же менее совершенной алгеброй Виета, например не разработанность вопроса об отрицательных координатах или отсутствие на большинстве чертежей второй оси, а также то обстоятельство, что оба они ограничились немногими примерами приложения нового метода.

Современники восприняли новую геометрию с энтузиазмом. Уже в латинских изданиях «Геометрии» Декарта мы находим отдельные, заслуживающие упоминания вещи.

-----------------------

[1] В первом издаиии этот весьма распространенный в XVII в. труд назывался «Основы арифметики в числах и видах» (Arithmeticae in numeris et speciebus institutio).

[2] Еще в переводе арабского трактата Ибн ал-Хайсама о параболических зеркалах, сделанном в XII в., употребляется оборот linea secunduin ordinem, т. е. «линия по порядку». Н. Орем в середине XIV в. писал о перпендикулярно приложенных отрезках — perpendiculariter applicatae.
[3] П. Ферма. Введение в изучение плоских и пространственных мест. В книге: Р. Декарт. Геометрия, стр. 137—138.
[4] См. Р. Декарт. Геометрия, стр. 146.
[5] Термин «аналитическая геометрия» в применении к любым геометрическим приложениям алгебры употреблялся в XVIII в. не раз. В более специальном смысле. совпадающем с общепринятыми в XIX в., его начал применять С. Ф.
Лакруа, а первую книгу, озаглавленную «Начала аналитической геометрии»
(Elements de geometric analytique. Paris, 1801), опубликовал профессор
Политехнической школы Ж. Г. Гарнье (1766-1840).

[6] Р. Декарт. Геометрия, стр. 30.
[7] Там же, стр. 30-31
[8] Р. Декарт. Геометрия, стр. 30.
[9] Там же, стр. 33

[10] Р. Декарт. Геометрия, стр. 34

[11] «Прямая сторона» — термин, восходящий к древности, есть отрезок, равный нашему удвоенному параметру. Слово «параметр» (измеряю) предложил в этом смысле употреблять друг Декарта Кл. Мидорж во «Введения в катоптрику и диоптрику или труде о конических сечениях» (Prodromus catoptricorum et dioptri-corum sive conicoruni opus, Parisiis, 1631).

[12] В подвижной системе координат ЕВ = у, LB = х' уравнение параболы
CKN есть у2 = а (a — х'), при этом х' = ху/(2а — х).

[13] Р. Декарт. Геометрия, стр. 73
[14] Г. Цейтен. История математики в древности и в средние века. Перевод
П. С. Юшкевича. М.— Л., 1938, стр. 138.
[15] И. Ньютон. Математические начала натуральной философии. Перевод А.
Н. Крылова. Собрание трудов А. Н. Крылова, т. VII. М.— Л., стр. 122.
[16] Помимо трезубца Декарт рассмотрел (в переписке 1638 г.) так называемый декартов лист x3 + y3 = 3axy и еще некоторые высшие кривые.