Решение нелинейного уравнения методом касательных

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: скачать шпаргалки по праву, гражданское реферат
| Добавил(а) на сайт: Шкиряк.

xn+1 = x n– ( f (x n) / f ’(x n))
(2)

Если на отрезке [a;b] f ’(x) * f “(x) > 0, то нул – евое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода .
Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f ‘(x) > 0 и f
“(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f
(b)). Ее уравнение будет иметь вид :

y = f (b) + f ’(b) * (x – b)

Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f ’(x) ? 0, решаем его относительно x. Получим :

x = b – (f (b) /f ‘(b))

Нашли абсциссу x1 точки c1 пересечения касательной с осью ox :

x1 = b – (f (b) – f ’ (b))

Проведем касательную к графику функции в точке b1 (x1; f (x1)).Найдем абсциссу x2 точки с2 пересечения касательной с осью Ox :

x2 = x1 – (f (x1) / ( f ’(x1))

Вообще : xk+1 = x k – ( f (x k) / f ’(x k))
(3)

Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (xk) корня, получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в точке b k (x k; f (x k0) метод уточнения корня c [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.

Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f
(x) касательной, одной к одной из крайних точек . Начальное приближение x
0 = a или x0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х k принадлежала интервалу ]a;b[ . В случае существования производных f ’, f
”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х0 берется тот конец отрезка
[a;b], для которого выполняется условие f ’(х0) * f (х0) > 0. Для оценки приближения используется общая формула :

|c-x k-1 | ? | f (x k+1)/m| , где m = min f ’(x) на отрезке
[a;b] .

На практике проще пользоваться другим правилом :

Если на отрезке [a;b] выполняется условие 0 < m < | f (x)| и ? - заданная точность решения, то неравенство | x k+1-x k| ? ? влечет выполнение неравенства |c-x k-1| ? ? .

В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство :

|c-x k-1| ? ? .

2. Решение нелинейного уравнения аналитически

Определим корни уравнения х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2 = 0 аналитически.
Находим : f (x) = х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2 f ‘ (x) = 3х2 + 0,1х + 0,4

f (–1) = –2,5 < 0 f (0) = –1,2 < 0 f (+1) =
0,3 > 0

|x |- ? |-1 |0 |+1 |+ ? |
|sign f (x) |- |- |- |+ |+ |

Следовательно, уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке [ 0; +1 ].

Приведем уравнение к виду x = ? (x) , так , чтобы | ? ‘ (x) | c do {Проверка по точности вычисления корня}

begin {Тело цикла} xn:=xn1; xn1:=f1(xn); y0:= f2(xn1);

{Печать промежуточного результата}