Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

В разложении f(x,y) в ряд  1.5 в окрестности точки  xm,ym положим  x=xm+b1h,

                    y=ym+b2hf.

Тогда f(xm+b1h,ym+b2hf)=f+b1hfx+b2hffy+O(h2), где функция и производные в правой части равенства вычислены в точке xm,ym.

Тогда 1.9 можно переписать в виде ym+1=ym+h[a1f+a2f+h(a2b1fx+a2b2ffy)]+O(h3).

Сравнив эту формулу с разложением в ряд Тейлора, можно переписать в виде

ym+1=ym+h[a1f+a2f+h(a2b1fx+a2b2ffy)]+O(h3).

Если потребовать совпадения членов hf, то  a1+a2=1.

Сравнивая члены, содержащие h2fx, получаем  a2b1=1/2.

Сравнивая члены, содержащие h2ffy, получаем a2b2=1/2.

Так как мы пришли к трем уравнениям для определения четырех неизвестных, то одно из этих неизвестных можно задать произвольно, исключая, может быть, нуль, в зависимости от того, какой параметр взять в качестве произвольного.

Положим, например, a2=w¹0. тогда  a1=1-w, b1=b2=1/2w и соотношения 1.9, 1.10, 1.11 сведутся к

   ym+1=ym+h[(1-w)f(xm,ym)+wf(xm+h/2w,ym+h/2wf(xm,ym))]+O(h3)              1.12

Это наиболее общая форма записи метода Рунге-Кутта второго порядка. При w=1/2 мы получаем исправленный метод Эйлера, при w=1 получаем модификационный метод Эйлера. Для всех w, отличных от нуля, ошибка ограничения равна

et=kh3                                                                                                          1.13

Методы Рунге-Кутта третьего и четвертого порядков можно вывести совершенно аналогично тому, как это делалось при выводе методов первого и второго порядков. Мы не будем воспроизводить выкладки, а ограничимся тем, что приведем формулы, описывающие метод четвертого порядка, один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений. Этот классический метод Рунге-Кутта описывается системой следующих пяти соотношений

   ym+1=ym+h/6(R1+2R2+2R3+R4)                                                                             1.14

где      R1=f(xm,ym),                                                                                                 1.15

   R2=f(xm+h/2,ym+hR1/2),                                                                                        1.16

   R3=f(xm+h/2,ym+hR2/2),                                                                                        1.17

   R4=f(xm+h/2,ym+hR3/2).                                                                                        1.18

Ошибка ограничения для этого метода равна et=kh5

так что формулы 1.14-1.18 описывают метод четвертого порядка. Заметим, что при использовании этого метода функцию необходимо вычислять четыре раза.

3. Выбор метода реализации программы

Исходя из вышеизложенного, для решения систем дифференциальных уравнений мы выбираем наиболее точный метод решения – метод Рунге-Кутта 4 порядка, один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений.

этот  метод является одноступенчатым и одношаговым

требует  информацию только  об одной  точке

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: доклад 2011, шпори для студентів.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата