Так как замена переменных t ®   ct приводит уравнение (1) к виду ( ¶   2 u/ ¶  t2) =  ( ¶  2u/ ¶  x2), то в дальнейшем будем считать с = 1.

Для построения разностной схемы решения задачи строим в области D = 0 £  x £  a, 0 £  t £  T сетку xi = ih, i=0,1 ... n , a = h * n, tj = j* ttt  , j = 0,1 ... , m, t m = T и аппроксимируем уравнение (1) в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне типа “крест”.

t   T j+1    j j-1                      0           i-1   i    i+1

Используя для аппроксимации частных производных центральные разностные производные, получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения (1) .

ui,j+1 - 2uij + ui,j-1           ui+1,,j - 2uij + ui-1, j                                t  2                                        h2

(4)

Здесь uij - приближенное значение функции u(x,t) в узле (xi,tj).

Полагая, что  l  =  t / h , получаем трехслойную разностную схему

ui,j+1 = 2(1-  l   2 )ui,j + l   2 (ui+1,j- ui-1,j) - ui,j-1 , i = 1,2 ...  n.       (5)

Для простоты в данной лабораторной работе заданы нулевые граничные условия, т.е. m  1(t) º  0, m  2(t) º  0. Значит, в схеме (5) u0,j= 0, unj=0 для всех j. Схема (5) называется трехслойной на трех временных слоях с номерами j-1, j , j+1. Схема (5) явная, т.е. позволяет в явном виде выразить ui,j через значения u с предыдущих двух слоев.

Численное решение задачи состоит в вычислении приближенных значений ui,j решения u(x,t) в узлах (xi,tj) при i =1, ... n, j=1,2, ... ,m . Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое ( j = 2,3,4, ... n) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев ( j=0,1,2, ... , n-1) по формуле (5). На нулевом временном слое (j=0) решение известно из начального условия ui0 = f(xi).

Для вычисления решения на первом слое (j=1) в данной лабораторной работе принят простейший способ, состоящий в том, что если положить ¶   u(x,0)/ ¶  t  »  ( u( x, t  ) - u(x,0) )/ t   (6) , то ui1=ui0+       + t  (xi), i=1,2, ... n. Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно применять формулу (5). Решение на каждом следующем слое получается пересчетом решений с двух предыдущих слоев по формуле (5).

Описанная выше схема аппроксимирует задачу с точностью до О( t +h2). Невысокий порядок аппроксимации по t объясняется использованием слишком грубой аппроксимации для производной по е в формуле (6).

Схема устойчива, если выполнено условие Куранта  t   < h. Это означает, что малые погрешности, возникающие, например, при вычислении решения на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному слою. При выполнении условий Куранта схема обладает равномерной сходимостью, т.е. при h  ®     0 решение разностной задачи равномерно стремится к регшению исходной смешанной задачи.

Недостаток схемы в том, что как только выбраная величина шага сетки h в направлении x , появляется ограничение на величину шага  t    по переменной t . Если необходимо произвести вычисление для большого значения величины T , то может потребоваться большое количество шагов по переменной t. Указанный гнедостаток характерен для всех явных разностных схем.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат на тему организация, написание дипломной работы.