Шпоры по вышке

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: открытия реферат, реферат власть
| Добавил(а) на сайт: Немов.

[pic]
Найдем [pic], если [pic]
[pic], т.к. [pic]
[pic]
Расстояние от точки до плоскости.
Дано:
M0 (x0;y0;z0)
[pic]
Расстояние d от точки М0 до плоскости ? равно модулю проекции вектора [pic]
(где М1(x1;y1;z1) - произвольная точка плоскости) на направление нормального вектора [pic]
[pic]
[pic]

[pic]
[pic]
!!!Если плоскость задана уравнением:
[pic] то расстояние до плоскости находится по формуле:
[pic]

22. Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми.
Уравнение с угловым коэффициентом.
[pic] k= tg ? – угловой коэффициент.
Если b=0 то прямая проходит через начало координат. Уравнение примет вид
[pic]
Если ?=0, то k = tg ? = 0. То прямая пройдет параллельно оси ох. [pic]
Если ?=?/2, то уравнение теряет смысл. В этом случае уравнение примет вид
[pic] и пройдет параллельно оси оу.
Общее уравнение прямой.
[pic]
A, B, C – произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.
. Если В=0, то уравнение имеет вид [pic] или [pic]. Это уравнение прямой, параллельной оси оу. и проходящей через точку [pic]
. Если В?0, то получаем уравнение с угловым коэффициентом [pic].
. Если А=0, то уравнение имеет вид [pic]. Это уравнение прямой, параллельной оси ох.
. Если С=0, то уравнение проходит через т. О (0;0).
Уравнение прямой, проходящей через точку, в данном направлении. т М (х0;у0).
Уравнение прямой записывается в виде [pic].
Подставим в это уравнение точку М [pic]
Решим систему:
[pic][pic]
[pic]
[pic]
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.
К (х1;у1) М (х2;у2)
[pic]
[pic]
Уравнение прямой в отрезках.
К (а;0); М (0;b)
Подставим точки в уравнение прямой:
[pic]
[pic]
Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.
М0 (х0;у0). [pic]
Возьмем произвольную точку М (х;у).
[pic]
Т.к. [pic], то [pic]
[pic]
Нормальное уравнение прямой.
Уравнение прямой можно записать в виде:
[pic]
Т.к. [pic];[pic], то:
[pic]
Угол между прямыми.
Дано: прямые L1 и L2 с угловыми коэффициентами
[pic]
Требуется найти угол между прямыми:
[pic]
[pic]

23. Эллипс. Определение. Вывод канонического уравнения.
Эллипсом называется геометрическое место всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до до фокусов есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса.
Т.к. MF1 + MF2 = 2a
[pic]
Т.к. [pic]
То получаем [pic]
Или [pic]

24. Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения.
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная.
Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF1 – MF2|=2a или MF1 – MF2=±2a,
[pic]

[pic] [pic]

25. Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения.
Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от фокуса, и директрисы. Расстояние между фокусом и директрисой называется параметром параболы и обозначается через р>0.
Пусть M(x;y) – произвольная точка M с F. Проведем отрезок
MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению MF=MN.
[pic]
[pic]

26. Поверхности вращения.
Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнение этой кривой запишутся в виде:
[pic]
Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг оси
Oz.
Возьмем на поверхности точку
M (x;y;z). Проведем через точку
М плоскость, перпендикулярную оси oz, и обозначим точки пересечения ее с осью oz и кривой L соответственно O1 и N.
Обозначим координаты точки
N (0;y1;z1). Отрезки O1M и O1N являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому O1M = O1N. Но O1M =
(x2+y2)0.5, O1N=|y1|.
Следовательно, |y1|=(x2+y2)0.5 или y1=±(x2+y2)0.5. Кроме того, очевидно, z1=z.
Следовательно [pic] – искомое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точка М этой поверхности и не удовлетворяет координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.
27. Поверхности 2-го порядка. Эллипсоид, Гиперболоид.
Эллипсоид.
[pic]
Рассмотрим сечение поверхности с плоскостями, параллельными xOy. Уравнения таких плоскостей z=h, где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя уравнениями:
[pic]
Если |h|>c, c>0, то [pic] точек пересечения поверхности с плоскостями z=h нет.
Если |h|=c, т.е. h=±c, то [pic]. Линия пересечения вырождается в две точки
(0;0;с) и (0;0;-с). Плоскости z=c и z=–c касаются поверхности.
Если |h|0 ее действительные оси параллельны оси Ox, при h0), либо гиперболу (при А*С