Три знаменитые классические задачи древности

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: работа реферат, конспект занятия
| Добавил(а) на сайт: Glafira.

Задача о трисекции угла становится разрешимой и общем случае, если не ограничиваться в геометрических построениях одними только классическими инструментами, циркулем и линейкой. Попытки решения задачи с помощью инструментов и средств были предприняты еще в V в. до н.э. Так, например,
Гиппий Элидский, знаменитый софист, живший около 420 г. до н.э., пользовался для трисекции угла квадратрисой. Александрийский математик
Никомед ( II в. до н.э.) решил задачу о трисекции угла с помощью одной кривой, названной конхоидой Никомеда (рис. 3), и дал описание прибора для черчения этой кривой.

[pic]

Рис. 4

Рис. 5

Интересное решение задачи о трисекции угла дал Архимед в своей книге
«Леммы», в которой доказывается , что если продолжить хорду [pic] (рис.4) окружности радиуса r на отрезок [pic]= r и провести через С диаметр [pic], то дуга BF будет втрое меньше дуги АЕ. Действительно на основе теорем о внешнем угле треугольника и о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника имеем:

[pic],

[pic] [pic], значит,

[pic]
Отсюда следует так называемый способ «вставки» для деления на три равные части угла AOE. Описав окружность с центром O и радиусом [pic] и [pic], проводим диаметр [pic]. Линейку CB на которой нанесена длина [pic] радиуса r (например, помощью двух штрихов), прикладываем и двигаем так, чтобы её точка C скользила по продолжению диаметра [pic], а сома линейка всё время проходила бы через точку A окружности, пока точка B линейки не окажется на окружности. Тогда угол BCF и будет искомой третьей частью угла AOE (Рис.5).
Как видно, в этом приёме используется вставка отрезка CB между продолжением диаметра EF и окружностью так, чтобы продолжение отрезка CB прошло через заданную точку A окружности. В указанном выше построении применяется, помимо циркуля, не просто линейка как инструмент для проведения прямых, а линейки с делениями, которая даёт длину определённого отрезка.
Вот ещё одно решение задачи о три секции угла при помощи линейки с двумя насечками предложенное Кемпе:
Пусть дан какой – либо угол ABC (Рис. 6); и пусть на лезвии нашей линейки обозначены 2 точки, P и Q (см. ту же фигуру, внизу)

Построение
На одной из сторон угла откладываем от вершины B прямую BA = PQ. Делим ВА пополам в точке М; проводим линии [pic] Рис. 6 и
[pic].
Возьмём теперь нашу линейку и приспособим её к уже полученной фигуре так, чтобы точка Р линейки лежала на прямой КМ, точка Q лежала бы

на прямой LM, и в тоже время продолжение PQ линейки проходило бы через вершину данного угла В. тогда прямая ВР и есть искомая, отсекающая третью часть угла В.

Доказательство
[pic] как накрест лежащие. Разделим PQ пополам и середину N соединим с М прямой NM. Точка N есть середина гипотенузы прямоугольного треугольника
PQM, а потому PN = NМ, а следовательно, треугольник PNM равнобедренный, и значит

[pic]

Внешний же [pic]

Вместе с тем [pic].

Значит, [pic]

Итак: [pic]

(Ч.Т.Д.).

Приведённое выше решение задачи принадлежит Кемпле, который при этом поднял вопрос, почему Евклид не воспользовался делением линейки и процессом её приспособления для доказательства 4-й теоремы своей первой книги, где вместо этого он накладывает стороны одного треугольника на стороны другого.
На это может ответить только, что в задачу Евклида и не входило отыскивание некоторой точки по средствам измерения и процесса приспособления линейки. В своих рассуждениях и доказательствах он просто накладывает фигуру на фигуру
– и только.

Задача об удвоении куба
Удвоение куба – так называется третья классическая задача древнегреческой математики. Эта задача на ряду с двумя первыми сыграла большую роль в развитии математических методов.
Задача состоит в построении куба, имеющий объём, вдвое больше объёма данного куба. Если обозначить через а ребро данного куба, то длина ребра х искомого куба должно удовлетворять уравнению x3 = 2a3, или x = [pic]
Задача является естественным обобщением аналогичной задачей об удвоении квадрата, которая решается просто: стороной квадрата, площадь которого равна 2а2, служит отрезок длиной а[pic], т.е. диагональ данного квадрата со стороной а. Наоборот удвоение куба, объём которого равен 2а3, т.е. отрезок х, равный [pic], не может быть построен при помощи циркуля и линейки.
Однако это было доказано лишь в первой половине XIX в.
Задача об удвоении куба носит так же название «делосской задачи» в связи со следующей легендой.
На острове Делос (в Эгейском море) распространялась эпидемия чумы. Когда жители острова обратились к оракулу за советом, как избавится от чумы, они получили ответ: «Удвойте жертвенник храма Аполлона». Сначала они считали, что задача легка. Так как жертвенник имел форму куба, они построили новый жертвенник, ребро которого было в два раза больше ребра старого жертвенника. Делосцы не знали, что таким образом они увеличили объём куба не в 2 раза, а в 8 раз. Чума ещё больше усилилась, и в ответ на вторичное обращение к оракулу последний посоветовал: «Получше изучайте геометрию…»
Согласно другой легенде, бог приписал удвоение жертвенникам не потому, что ему нужен вдвое больший жертвенник, а потому, что хотел упрекнуть греков,
«которые не думают о математике и не дорожат геометрией».
Задачей удвоения куба еще в V в. до н.э. занимался Гиппократ Хиосский, который впервые свел ее к решению следующей задачи: построить «два средних пропорциональных» отрезка х, у между данными отрезками а, b, т.е. найти х и у, которые удовлетворяли в следующей непрерывной пропорции: а : х = х : у = у : b (1)
Суть одного механического решения задач об удвоении куба, относящегося к
IV в. до н.э. , основано на методе двух средних пропорциональных. Отложим на стороне прямого угла отрезок [pic]=а, где а- длина ребра куба (рис.7), а на другой его стороне – отрезок [pic]=2а. На продолжениях сторон прямого угла стараемся найти такие точки M и N , чтобы (АМ) и (ВN) были перпендикулярны к (MN); тогда [pic](х) и [pic](у) будут двумя серединами пропорциональными между отрезками [pic] и [pic]. Для этого устраивается угольник с подвижной линейкой. Линейку располагают так, как показано на рисунке.
Имеем:

[pic]: [pic] = [pic] : [pic] = [pic] : [pic], или а : х = х : у = у : 2а.
Отсюда

[pic] или

[pic], т.е.

[pic].
Это значит что отрезок [pic] искомый.
Архит Тарентский дал интересное стереометрическое решение «делосской задачи». После него, кроме Евдокса, дали свои решения Эратосфен, Никомед,
Аполлоний, Герон, Папп и др.

Итак, все старания решить три знаменитые задачи при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Иной, пожалуй, по этому поводу скажет, что, следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в течении столетий решить задачу, свелась ни к чему… Но это будет неверно. При попытках решить эти задачи было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи. Попытка
Колумба открыть новый путь в Индию, плывя всё на запад, окончилась, как известно, неудачей. И теперь мы знаем, что так необходимо и должно было случиться. Но гениальная попытка великого человека привела к «попутному» открытию целой новой части света, перед богатством и умственным развитием которого бледнеют ныне все сокровища Индии.
Древность завещала решение всех трёх задач нашим временам.