Векторы

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: диплом о высшем, доклад о животных
| Добавил(а) на сайт: Еркулаев.

Даны два вектора AB и CD, причем А( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4), С( -1;
-2; 2) и D(2; 1;5).

Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

Решение.

Найдем сначала координаты векторов. АВ = ( -3; 3; 0) и СD = (3; 3; 3).

Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

АВ х СD = ( -3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0.

Последнее и означает, что АВ СD.

Задача 2.

Дан произвольный треугольник АВС. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам треугольника
АВС.

Решение.

Обозначим медианы треугольника АВС через ВЕ, СF и обозначим векторы, идущие вдоль сторон треугольника АВС, через а, в, с:

ВС = а, СА = в, АВ = с
(рис.8). Тогда

АD = АВ + ВD = АВ +[pic]= с + [pic] аналогично определяются и другие медианы:

ВЕ = а + [pic], СF = в + [pic]

Так как, в силу условия замкнутости

ВС + СА + АВ = а + в + с =0, то мы имеем:
АD + ВЕ + СF = ( с + [pic]) + (а + [pic]) + ( в + [pic]) = [pic]( а + в + с) = [pic] х 0 = 0.

Следовательно, отложив от точки В, вектор В1С1 = ВЕ и от точки С1 – вектор С1D1 = СF, мы получим.

А1В1 + В1С1 + С1D1 = АD + ВЕ + СF = 0.

А это значит (в силу условия замкнутости), что ломаная А1В1С1D1 является замкнутой, т.е. точка D1 совпадает с А1.

Таким образом, мы получаем треугольник А1В1С1 (рис.9), стороны которого равны и параллельны медианам АD, ВЕ, СF исходного треугольника.

Задача 3.

Доказать, что для любого треугольника имеет место формула с2 = а2 + в2 – 2ав х соs С (теорема косинусов)

Решение.

Положим: а = СВ, в = СА, с = АВ (рис.10).

Тогда с = а – в, и мы имеем
(учитывая, что угол между векторами а и в равен С):