Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: экзамен, задачи курсовой работы
| Добавил(а) на сайт: Подколодный.

Доказательство.

Оценим [pic], считая, что функция f(x) имеет на сегменте [-h, h] непрерывную вторую производную Для этого подвергнем двукратному интегрированию по частям каждый из следующих двух интегралов:

[pic] [pic][pic]

Для первого из этих интегралов получим

[pic]

Для второго из интегралов аналогично получим

[pic]

Полусумма полученных для [pic] и [pic] выражений приводит к следующей формуле:

[pic] (3)

Оценим величину [pic], применяя к интегралам [pic] и [pic] формулу среднего значения и учитывая неотрицательность функций [pic] и [pic]. Мы получим, что найдутся точка [pic] на сегменте [-h, 0] и точка [pic] на сегменте
[0 ,h] такие, что
[pic] В силу доказанного замечания на сегменте [-h, h] найдётся точка
[pic] такая, что [pic]
Поэтому для полусуммы [pic] мы получим следующее выражение:

[pic]
Подставляя это выражение в равенство (3), получим, что

[pic] (4) где

[pic] [pic]. (5)
Так как величина [pic] представляет собой площадь некоторого прямоугольника с основанием [pic] (рис.1), то формулы (4) и (5) доказывают, что ошибка, совершаемая при замене [pic] указанной площадью, имеет порядок
[pic]

Таким образом, формула [pic] тем точнее, чем меньше h. Поэтому для вычисления интеграла [pic] естественно представить это интеграл в виде суммы достаточно большого числа n интегралов

[pic]

И к каждому из указанных интегралов применить формулу (4). Учитывая при этом, что длина сегмента [pic] равна [pic], мы получим формулу прямоугольников (1), в которой

[pic]
Здесь [pic]. Мы воспользовались формулой, доказанной в утверждении, для функции [pic]

Примеры вычисления определённых интегралов по формуле прямоугольников.

Для примеров возьмём интегралы, которые вычислим сначала по формуле
Ньютона-Лейбница, а затем по формуле прямоугольников.

П р и м е р 1. Пусть требуется вычислить интеграл [pic].
По формуле Ньютона-Лейбница, получим

[pic]
Теперь применим формулу прямоугольников

1. [pic] [pic].

2. [pic] [pic].

3. [pic] [pic].

4. [pic] [pic].