Высшая математика, интегралы (шпаргалка)

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: сочинения по русскому языку, шпаргалки по менеджменту
| Добавил(а) на сайт: Galiaskarov.

|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |

Определённый интеграл.
Интегрируемость
Определение 28.1: Множество точек отрезка [pic]таких, что: [pic]называют разбиением отрезка [pic]. Длины частичных отрезков разбиения обозначим:
[pic]. Мелкостью разбиения [pic](читается – “дельта большое”) назовем максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е. [pic].
Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех [pic]точки [pic].
Интегральной суммой функции [pic]на отрезке [pic]с разбиением [pic]будем называть сумму (зависящую от разбиения [pic]и выбора точек [pic]) вида:
[pic].
Определение 28.3: Пределом интегральных сумм функции [pic]на отрезке
[pic]назовём такое число [pic], что [pic]. Обозначается: [pic].
Определение 28.4: Функция [pic]называется интегрируемой на отрезке [pic], если существует конечный предел её интегнральных сумм на [pic].
Обозначается: [pic].
Теорема 28.1: Если [pic]интегрируема на отрезке [pic], то она ограничена на нём.
Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но неинтегрируема).
Критерий интегрируемости функций
Теорема 28.2: Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция, была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: [pic].
Следствие 1: Условие Т.2 эквивалентно условию: [pic].
Следствие 2: Если функция интегрируема на , то: [pic].
Определение 28.8: Определённым интегралом функции [pic]на [pic]называется число [pic], равное пределу интегральных сумм [pic]на [pic]. Условие интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.

Свойства определённого интеграла
1. Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то
[pic], т.е. пост. множитель с можно выносить за знак определенного интег- ла.
2. Если функции f(x), g(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на
[a;b] их сумма и разность
[pic], [pic]
3. Если [pic], то: [pic]
4. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a