Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

 (8)

Это уравнение уже не содержит никаких индивидуальных параметров, выделяющих конкретное движение. Это уравнение и есть уравнение Шрёдингера в отсутствии силовых полей.

Обобщим теперь полученное уравнение (8) на случай движений в силовых полях. Ограничимся случаем потенциальных силовых полей, которые, как и в классической механике, характеризуются потенциальной функцией или потенциальной энергией U(). Заметим теперь, что ħ/дt имеет размерность энергии, Значит, одинаковую размерность имеют

и величины и U()Ψ. Поэтому прибавление в правой части уравнения (8) слагаемого U()Ψ не меняет размерности этого уравнения. Можно думать, что полученное таким путем уравнение

  (9)

будет правильно учитывать влияние потенциального силового поля на движение частицы. Это и есть уравнение Шрёдингера. Это так называемое уравнение Шрёдингера, зависящее от времени. Его также называют общим уравнением Шрёдингера.

Путь, которым мы пришли к уравнению Шрёдингера, конечно, не может служить доказательством этого уравнения. Но уравнение Шрёдингера – существенно новый принцип. Его нельзя логически вывести из старых принципов, в которых он не содержится. Единственным доказательством уравнения Шрёдингера является только опыт – опытная проверка всех выводимых из него следствий. Такую проверку уравнение Шрёдингера выдержало.

В уравнении (9) в неявной форме уже заложена двойственная – корпускулярно-волновая –природа вещества. Согласно интерпретации волновой функции Ψ частица не локализована. Она, как принято говорить, с определенной вероятностью «размазана» в пространстве. Казалось бы, что при написании уравнения (9) это обстоятельство с самого начала должно быть принято во внимание, т. е. под U следовало бы понимать потенциальную энергию частицы с учетом всех возможных положений ее и их вероятностей. На самом деле в уравнении (9) это не предполагается. Потенциальная функция U() рассматривается в нем так же, как в классической физике, т. е. как функция локализованной, в частности точечной, частицы в силовом поле. Например, в атоме водорода для электрона в поле ядра полагают U(r) = -е2/r, т. е. поступают так же, как если бы обе эти частицы были локализованы.

Уравнение Шрёдингера – первого порядка по времени. Отсюда следует, что заданием волновой функции Ψ во всем пространстве в какой-либо момент времени (например, принимаемый за начальный) однозначно определяется функция Ψ также во всем пространстве во все последующие моменты времени. Не следует смотреть на это утверждение как на выражение принципа причинности в квантовой механике. Ибо выражаемая им «причинность» относится к волновой функции Ψ. А волновая функция связана с реально наблюдаемыми объектами вероятностными соотношениями. Поэтому квантовая механика, по крайней мере в современной ее форме, является принципиально статистической теорией.

Уравнение Шрёдингера, как это требовалось с самого начала для выполнения принципа суперпозиции, линейно и однородно относительно функции Ψ. В точной математической форме принцип суперпозиции сводится к двум утверждениям.

Во-первых, если Ψ1 и Ψ2 — какие-либо два решения уравнения Шрёдингера, то и всякая линейная комбинация их α1Ψ1 + α2Ψ2 с постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами α1 и α2 есть также решение того же уравнения. Во-вторых, если волновые функции Ψ1 и Ψ2 описывают какие-либо два состояния системы, то и линейная комбинация α1Ψ1 + α2Ψ2 также описывает какое-то состояние той же системы. Конечно, состояние частицы определяется не самими коэффициентами α1 и α2, а только их отношением α1/α2 . Состояние не изменится, если оба коэффициента умножить на одну и ту же вещественную или комплексную постоянную. Это позволяет, например, функцию Ψ = α1Ψ1 + α2Ψ2 нормировать (если интеграл , взятый по всему пространству, сходится).

Особое значение в квантовой механике имеют стационарные состояния. Это – такие состояния, в которых все наблюдаемые физические параметры не меняются с течением времени. Сама волновая функция Ψ не относится к этим параметрам. Она принципиально не наблюдаема. Не должны меняться во времени только физически наблюдаемые величины, которые могут быть образованы из Ψ по правилам квантовой механики.

Как следует из уравнения (9), вид волновой функции Ψ определяется потенциальной энергией U, т. е., в конечном счете, характером тех сил, которые действуют на частицу. Вообще говоря, U есть функция координат и времени. Для стационарного (не меняющегося со временем) силового поля U не зависит явно от времени. В последнем случае волновая функция Ψ распадается на два множителя, один из которых зависит только от времени, второй – только от координат:

 (10)

(Е — полная энергия частицы, (E/ħ) = ω ).

Учтём, что дифференциал  (11)

Подстановка функции (10) в уравнение (9) с учётом (11) дает:

Сокращая все члены этого уравнения на общий множитель e-i(E/ħ)t и произведя соответствующие преобразования, получим дифференциальное уравнение, определяющее функцию ψ:

 (12)

Если функция U зависит от времени явно, то и решение последнего уравнения – функция ψ – будет зависеть от времени, что противоречит предположению (10).

Уравнение (12) называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний (или уравнением Шрёдингера без времени).

К уравнению Шрёдингера можно прийти и следующим путем следующих рассуждений. Из опытов по дифракции микрочастиц вытекает, что параллельный пучок частиц обладает свойствами плоской волны, распространяющейся в направлении движения частиц. Уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении оси x, имеет, как известно, вид:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: риск реферат, в контакте сообщения.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата