Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

Рис. 7.

1,5 см, причем в положении 1 нужна одна засечка, в положении 2 - две засечки, выполненные одна за другой, в положении 3 - три засечки и т. д. Теперь для вычерчивания циклоиды остается соединить точки

М0, M1, М2, М3, M4, M5, M6

плавной кривой (на глаз).

Кривая кратчайшего спуска

Среди многих замечательных свойств циклоиды отметим одно, из-за которого она заслужила громко звучащее мудреное название: «брахистохрона». Это название составлено из двух греческих слов, означающих «кратчайший» и «время».

Рассмотрим такой вопрос: какую форму следует придать хорошо отшлифованному металлическому желобу, соединяющему две заданные точки А и В (рис. 8.), чтобы полированный металлический шарик скатывался по этому желобу из точки А в точку В в кратчайшее время? На первый взгляд кажется, что нужно остановиться на прямолинейном желобе, так как только вдоль него шарик пройдет кратчайший путь от А до В. Однако речь идет не о кратчайшем пути, а о кратчайшем времени; время же зависит не только от длины пути, но и от скорости, с которой бежит шарик. Если желоб прогнуть вниз, то его часть, начиная от точки А, будет круче опускаться вниз, чем в случае прямолинейного желоба, и шарик, падая по

Рис. 8.

нему, приобретет скорость большую, чем на участке такой же длины прямолинейного желоба. Но если сделать начальную часть очень крутой и сравнительно длинной, то тогда часть, примыкающая к точке В, будет очень пологой и также сравнительно длинной; первую часть шарик пройдет быстро, вторую очень медленно и шарик может запоздать с приходом в точку

Рис. 9.

В. Итак, желобу, по-видимому, нужно придавать вогнутую форму, но делать выгиб не слишком значительным.

Итальянский физик и астроном Галилей (1564 - 1642) думал, что желоб кратчайшего времени нужно выгибать по дуге окружности. Но швейцарские математики братья Бернулли около трехсот лет тому назад доказали точным расчетом, что это не так и что желоб нужно выгибать по дуге циклоиды (опрокинутой вниз, рис. 9.). С тех пор циклоида и заслужила прозвище брахистохроны, а доказательства Бернулли послужили, началом новой отрасли математики - вариационного исчисления. Последнее занимается отысканием вида кривых, для которых та или иная интересующая нас величина достигает своего наименьшего (а в некоторых вопросах - наибольшего) значения.

Спираль Архимеда

Вообразим бесконечно длинную секундную стрелку, по которой, начиная от центра циферблата, неутомимо бежит маленький жучок с постоянной скоростью v см/с. Через минуту жучок будет на расстоянии 60v см от центра, через две - 120v и т.д. Вообще, через t секунд после начала пробега расстояние жучка от центра будет равно vt см. За это время стрелка повернется на угол, содержащий 6 t° (ведь за одну секунду она успевает повернуться на угол 360°:60 = 6°). Поэтому положение жучка на плоскости циферблата через любое число t секунд после начала движения находится так. Нужно отложить от начального положения стрелки в направлении ее вращения угол а, содержащий 6t°, и отмерить от центра вдоль нового положения стрелки расстояние r = vt см. Тут мы и настигнем жучка (рис. 10.).

Рис. 10.

Очевидно, что соотношение между углом поворота a стрелки (в градусах) и пройденным расстоянием r (в сантиметрах) будет такое:

r = (va)/6

Иными словами, r прямо пропорционально a, причем коэффициент пропорциональности k = v/6.

Приладим к нашему бегуну маленькую, но неистощимую баночку с черной краской и допустим, что краска, вытекая через крошечное отверстие, оставляет на бумаге след от уносимого вместе со стрелкой жучка. Тогда на бумаге будет постепенно вырисовываться кривая, впервые изученная Архимедом (287 - 212 до н.э.). В его честь она называется спиралью Архимеда. Нужно только сказать, что у Архимеда не было речи ни о секундной стрелке (тогда и часов с пружиной не было: их изобрели только в XVII в.), ни о жучке. Мы ввели их здесь для наглядности.

Рис. 11.                                  Рис. 12.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: век реферат, сочинение рассказ.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата