Введение в статистику

| Категория реферата: Рефераты по менеджменту
| Теги реферата: контрольные работы, реферат ?аза?ша
| Добавил(а) на сайт: Listunov.

Если же значения WCC лежат в пределах 0-1000, то та же разность (2) между средними значениями WCC мужчин и женщин, обнаруженная в эксперименте, составляла бы столь малую долю общей вариации, что полученное различие (2) считалось бы пренебрежимо малым. Рассмотрение еще одного субъекта могло бы изменить разность или даже изменить ее знак. Поэтому всякая хорошая мера зависимости должна принимать во внимание полную изменчивость индивидуальных значений в выборке и оценивать зависимость по тому, насколько эта изменчивость объясняется изучаемой зависимостью.

Общая конструкция большинства статистических критериев. Так как конечная цель большинства статистических критериев (тестов) состоит в оценивании зависимости между переменными, большинство статистических тестов следуют общему принципу, объясненному в предыдущем разделе. Говоря техническим языком, эти тесты представляют собой отношение изменчивости, общей для рассматриваемых переменных, к полной изменчивости. Например, такой тест может представлять собой отношение той части изменчивости WCC, которая определяется полом, к полной изменчивости WCC (вычисленной для объединенной выборки мужчин и женщин). Это отношение обычно называется отношением объясненной вариации к полной вариации. В статистике термин объясненная вариация не обязательно означает, что вы даете ей "теоретическое объяснение". Он используется только для обозначения общей вариации рассматриваемых переменных, иными словами, для указания на то, что часть вариации одной переменной "объясняется" определенными значениями другой переменной и наоборот.

Как вычисляется уровень статистической значимости. Предположим, вы уже вычислили меру зависимости между двумя переменными (как объяснялось выше). Следующий вопрос, стоящий перед вами: "насколько значима эта зависимость?" Например, является ли 40% объясненной дисперсии между двумя переменными достаточным, чтобы считать зависимость значимой? Ответ: "в зависимости от обстоятельств". Именно, значимость зависит в основном от объема выборки. Как уже объяснялось, в очень больших выборках даже очень слабые зависимости между переменными будут значимыми, в то время как в малых выборках даже очень сильные зависимости не являются надежными. Таким образом, для того чтобы определить уровень статистической значимости, вам нужна функция, которая представляла бы зависимость между "величиной" и "значимостью" зависимости между переменными для каждого объема выборки. Данная функция указала бы вам точно "насколько вероятно получить зависимость данной величины (или больше) в выборке данного объема, в предположении, что в популяции такой зависимости нет". Другими словами, эта функция давала бы уровень значимости (p -уровень), и, следовательно, вероятность ошибочно отклонить предположение об отсутствии данной зависимости в популяции. Эта "альтернативная" гипотеза (состоящая в том, что нет зависимости в популяции) обычно называется нулевой гипотезой. Было бы идеально, если бы функция, вычисляющая вероятность ошибки, была линейной и имела только различные наклоны для разных объемов выборки. К сожалению, эта функция существенно более сложная и не всегда точно одна и та же. Тем не менее, в большинстве случаев ее форма известна, и ее можно использовать для определения уровней значимости при исследовании выборок заданного размера. Большинство этих функций связано с очень важным классом распределений, называемым нормальным.

Почему важно Нормальное распределение. Нормальное распределение важно по многим причинам. В большинстве случаев оно является хорошим приближением функций, определенных в предыдущем разделе (более подробное описание см. в разделе Все ли статистики критериев нормально распределены?). Распределение многих статистик является нормальным или может быть получено из нормальных с помощью некоторых преобразований. Рассуждая философски, можно сказать, что нормальное распределение представляет собой одну из эмпирически проверенных истин относительно общей природы действительности и его положение может рассматриваться как один из фундаментальных законов природы. Точная форма нормального распределения (характерная "колоколообразная кривая") определяется только двумя параметрами: средним и стандартным отклонением.

Характерное свойство нормального распределения состоит в том, что 68% всех его наблюдений лежат в диапазоне ±1 стандартное отклонение от среднего, а диапазон ±2 стандартных отклонения содержит 95% значений. Другими словами, при нормальном распределении, стандартизованные наблюдения, меньшие -2 или большие +2, имеют относительную частоту менее 5% (Стандартизованное наблюдение означает, что из исходного значения вычтено среднее и результат поделен на стандартное отклонение (корень из дисперсии)). Если у вас имеется доступ к пакету STATISTICA, Вы можете вычислить точные значения вероятностей, связанных с различными значениями нормального распределения, используя Вероятностный калькулятор; например, если задать z-значение (т.е. значение случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение) равным 4, соответствующий вероятностный уровень, вычисленный STATISTICA будет меньше .0001, поскольку при нормальном распределении практически все наблюдения (т.е. более 99.99%) попадут в диапазон ±4 стандартных отклонения.

Иллюстрация того, как нормальное распределение используется в статистических рассуждениях (индукция). Напомним пример, обсуждавшийся выше, когда пары выборок мужчин и женщин выбирались из совокупности, в которой среднее значение WCC для мужчин и женщин было в точности одно и то же. Хотя наиболее вероятный результат таких экспериментов (одна пара выборок на эксперимент) состоит в том, что разность между средними WCC для мужчин и женщин для каждой пары близка к 0, время от время появляются пары выборок, в которых эта разность существенно отличается от 0. Как часто это происходит? Если объем выборок достаточно большой, то разности "нормально распределены" и зная форму нормальной кривой, вы можете точно рассчитать вероятность случайного получения результатов, представляющих различные уровни отклонения среднего от 0 - значения гипотетического для всей популяции. Если вычисленная вероятность настолько мала, что удовлетворяет принятому заранее уровню значимости, то можно сделать лишь один вывод: ваш результат лучше описывает свойства популяции, чем "нулевая гипотеза". Следует помнить, что нулевая гипотеза рассматривается только по техническим соображениям как начальная точка, с которой сопоставляются эмпирические результаты. Отметим, что все это рассуждение основано на предположении о нормальности распределения этих повторных выборок (т.е. нормальности выборочного распределения). Это предположение обсуждается в следующем разделе.

Все ли статистики критериев нормально распределены? Не все, но большинство из них либо имеют нормальное распределение, либо имеют распределение, связанное с нормальным и вычисляемое на основе нормального, такое как t, F или хи-квадрат. Обычно эти критериальные статистики требуют, чтобы анализируемые переменные сами были нормально распределены в совокупности. Многие наблюдаемые переменные действительно нормально распределены, что является еще одним аргументом в пользу того, что нормальное распределение представляет "фундаментальный закон". Проблема может возникнуть, когда пытаются применить тесты, основанные на предположении нормальности, к данным, не являющимся нормальными (смотри критерии нормальности в разделах Непараметрическая статистика и распределения или Дисперсионный анализ). В этих случаях вы можете выбрать одно из двух. Во-первых, вы можете использовать альтернативные "непараметрические" тесты (так называемые "свободно распределенные критерии", см. раздел Непараметрическая статистика и распределения). Однако это часто неудобно, потому что обычно эти критерии имеют меньшую мощность и обладают меньшей гибкостью. Как альтернативу, во многих случаях вы можете все же использовать тесты, основанные на предположении нормальности, если уверены, что объем выборки достаточно велик. Последняя возможность основана на чрезвычайно важном принципе, позволяющем понять популярность тестов, основанных на нормальности. А именно, при возрастании объема выборки, форма выборочного распределения (т.е. распределение выборочной статистики критерия , этот термин был впервые использован в работе Фишера, Fisher 1928a) приближается к нормальной, даже если распределение исследуемых переменных не является нормальным. Этот принцип иллюстрируется следующим анимационным роликом, показывающим последовательность выборочных распределений (полученных для последовательности выборок возрастающего размера: 2, 5, 10, 15 и 30), соответствующих переменным с явно выраженным отклонением от нормальности, т.е. имеющих заметную асимметричность распределения.

Однако по мере увеличения размера выборки, используемой для получения распределения выборочного среднего, это распределение приближается к нормальному. Отметим, что при размере выборки n=30, выборочное распределение "почти" нормально (см. на близость линии подгонки). Этот принцип называется центральной предельной теоремой (впервые этот термин был использован в работе Polya, 1920; по-немецки "Zentraler Grenzwertsatz").

Как узнать последствия нарушений предположений нормальности? Хотя многие утверждения других разделов Элементарных понятий статистики можно доказать математически, некоторые из них не имеют теоретического обоснования и могут быть продемонстрированы только эмпирически, с помощью так называемых экспериментов Moнте-Кaрло. В этих экспериментах большое число выборок генерируется на компьютере, а результаты полученные из этих выборок, анализируются с помощью различных тестов. Этим способом можно эмпирически оценить тип и величину ошибок или смещений, которые вы получаете, когда нарушаются определенные теоретические предположения тестов, используемых вами. Исследования с помощью методов Монте- Карло интенсивно использовались для того, чтобы оценить, насколько тесты, основанные на предположении нормальности, чувствительны к различным нарушениям предположений нормальности. Общий вывод этих исследований состоит в том, что последствия нарушения предположения нормальности менее фатальны, чем первоначально предполагалось. Хотя эти выводы не означают, что предположения нормальности можно игнорировать, они увеличили общую популярность тестов, основанных на нормальном распределении.