Волновое уравнение не имеет единственного решения

Виктор Кулигин, Галина Кулигина, Мария Корнева, Исследовательская группа «Анализ»

Теорема о нарушении единственности решения

Теорему о существовании и единственности решения задачи Коши можно найти в [1] (стр.44...46). Логика доказательства приводит к однородному волновому уравнению (77) (см. стр.45 в [1]), решение которого должно удовлетворять нулевым начальным и граничным условиям (стр.45 в [1]). Далее идет доказательство, что решение этого уравнения тривиальное и на основании этого делается заключение о единственности решения задачи Коши для волнового уравнения.

Оказывается, существует множество решений задачи Коши для волнового уравнения. Мы приведем доказательство для свободного пространства (одномерный случай). Это продиктовано следующими соображениями. Во-первых, доказательство не будет перегружено дополнительными деталями. Во вторых, доказательство этого случая не нарушает общности рассуждений и его нетрудно обобщить на случай наличия граничных условий. В третьих, нас интересуют процессы в свободном пространстве (излучение и распространение волн в электродинамике), к которым это доказательство имеет прямое отношение.

Доказательство

Рассмотрим однородное волновое уравнение в безграничном одномерном пространстве с нулевыми начальными условиями.

Начальные условия: v = 0 и ∂v/∂t = 0 при t = 0.

Представим теперь функцию v как сумму некоторых двух функций:

Подставим это выражение в (1) и перенесем члены, зависящие от f в правую часть уравнения (1).

Мы можем выбрать и присвоить функции f определенное выражение. Пусть, например,

f = (cosπx·sinat)4, когда –1 < x < 1 и 0 < t < π/a;

f = 0 если x < –1 или x > 1 и t > π/a или t < 0.

Функция ограничена f в пространстве и во времени. В этом случае уравнение (3) превращается в неоднородное волновое уравнение, правая часть которого нам известна. Теперь мы можем сформулировать начальные условия для функции u.

Начальные условия:

Решение уравнения (3) с начальными условиями (4) существует (см., например, [1], стр.75, выражение (24)). Следовательно, мы имеем окончательный результат – новое, нетривиальное решение однородного волнового уравнения с нулевыми начальными условиями. Запишем общее ненулевое решение однородного волнового уравнения, удовлетворяющего задаче Коши с нулевыми начальными условиями:

где.

Функция f не должна быть решением волнового уравнения.