Нормы и интерпретация результатов теста

| Категория реферата: Рефераты по психологии
| Теги реферата: сообщения бесплатно, математика
| Добавил(а) на сайт: Dominika.

[pic]
В примере сравнению подлежат результаты контрольной работы выборки A из 4 школьников, проходивших обучение по коррекционным программам, и выборки Б, состоящей из 7 школьников, никакого коррекционного обучения не проходивших.
Последовательность действий, предусматриваемых вычислением всех нужных для решения задачи величин, такова.
1. Выписать в любом порядке число успешно решенных заданий школьниками сначала выборки А, затем выборки Б.
2. Проранжировать число успешно решенных заданий, объединив обе выборки.
3. Найти сумму рангов выборок А и Б раздельно.
Эти три действия дадут все необходимые для вычисления критерия данные.
[pic]
Для проверки расчетов вычисляется:
RA + RB = N/2(1 + N); т.е. 37 + 29 = 11/2(1 + 11), т.е. 66 = 66.
Имея величины U1 и U2, следует обратиться к таблице уровня значимости. На совмещение строки четвертой со столбцом седьмым находим 3/25. По условиям таблицы, U1 должно быть меньше верхней, a U2 — больше нижней величины.
Полученные величины показывают, что ho отвергается. Можно утверждать, что между выборками имеется существенное различие: результаты свидетельствуют о преимуществе выборки A.
Попарное сравнение. В предыдущем материале исследователь имел дело с двумя выборками. В обработку они поступают как два ряда чисел; каждый ряд есть результат экспериментов, проведенных с данной выборкой. Однако часто приходится встречаться с материалом, в котором даны два числовых ряда, но оба они получены на одной выборке; сюда относятся исследования, когда эксперименты проводятся до и после какого-то специального воздействия. Цель такого исследования состоит в том, чтобы установить, есть ли достаточно существенные изменения и можно ли утверждать, что специальное воздействие имело существенное значение.
Например, психологу было предложено ответить на такой вопрос: влияют ли занятия физкультурой на общее самочувствие занимающихся школьников? Исследование он построил так: школьников просили отмечать на линейной шкале свое самочувствие до занятий физкультурой и после них.
Статистической обработке подлежат попарные сравнения показания одного и того же испытуемого до и после воздействия:
|до воздействия |после него |разность рядов «до» и «после» |
| | |х |х2 |
|3,2 |3,8 |+0,6 |0,36 |
|1,6 |1,0 |-0,6 |0,36 |
|5,7 |8,4 |+2,7 |7,29 |
|2,8 |3,6 |+0,8 |0,64 |
|5,5 |5,0 |-0,5 |0,25 |
|1,2 |3,5 |+2,3 |5,29 |
|6,1 |7,3 |+1,2 |1,44 |
|2,9 |4,8 |+1,9 |3,61 |
| | |Sx = 8,4; |Sx2 = 19,24 |
| | |(Sx)2 = 70,56 | |

Нуль-гипотеза формулируется так: сравнение рядов до и после воздействия не дает оснований утверждать, что по измеряемому признаку произошли существенные изменения.
Выборка, подвергнутая изучению, состояла из 8 человек. Начнем с параметрического метода. Будет применен критерий t Стьюдента, его формула для попарного сравнения такова:

[pic]
Нужно вычислить все величины, входящие в эту формулу. Для получения S используется формула:

[pic]
Извлекая корень из полученной величины, узнаем значение S. Остается произвести по формуле все вычисления.
Ниже приводятся ряды, полученные в эксперименте (числа заимствованы из кн.: Бейли Н. Статистические методы в биологии. М., 1964).
[pic]
При вычислении t при попарном сравнении число степеней свободы равно п -1.
По таблице уровней значимости для t находим, что для 7 степеней свободы t0,95 должно быть не менее 2,36. Поскольку получена большая величина, следует признать, что налицо статистически значимое влияние занятий физкультурой на самочувствие школьников.
Из непараметрических методов для попарного сравнения удобен для пользования критерий Уилкоксона, правда, на небольших выборках этот критерий оказывается недостаточно мощным; его лучше применять на выборках объемом от 12 и более элементов.
Небольшие по объему выборки, однако, удобны для наглядного последовательного изложения техники расчетов.
Для использования этого критерия (его называют также знаково-ранговым) следует проранжировать, сначала не обращая внимания на знаки, весь перечень разностей между рядами «до» и «после». Если разность у отдельных испытуемых и в отдельных случаях нулевая, то она из ранжирования исключается и не входит в сумму рангов. В этом примере таких разностей (равных нулю) не встречается.
Далее нужно суммировать раздельно ранги разностей с положительным знаком и ранги разностей с отрицательным знаком. Значение критерия Т равно меньшей по абсолютной величине сумме рангов.
В этом примере Т = 3,5.
|Ряд |+0,6 |-0,6 |+2,7 |+0,8 |-0,5 |+2,3 |+1,2 |+1,9 |
|разносте| | | | | | | | |
|й | | | | | | | | |
|Ранги |2,5 |(2.5) |8 |4 |(1) |7 |5 |6 |

Скобками указаны ранги разностей с отрицательными значениями. Но прежде чем отыскивать уровень значимости Т, нужно обратить внимание на то, что в данном случае критерий Уилкоксона — это двусторонний критерий. Как это понимать? Различают односторонние и двусторонние критерии. Отвергая нуль- гипотезу, выдвигают альтернативную ей гипотезу. При этом возникает вопрос: в какую сторону направлено отличие альтернативной гипотезы от Ho — в положительную или отрицательную. Если исследование предполагает равно возможными и ту, и другую направленности, следует принять двусторонний критерий. Возможна вместе с тем такая постановка исследования, когда учитывается лишь одна направленность результатов. Так, сравнивая две выборки учащихся по освоении ими научных химических понятий, исследователь ставит ограниченную задачу — рассмотреть только возможность преобладания в этом освоении одной выборки над другой. В этом исследовании применим односторонний критерий.
При описании статистических методов всегда указывается, какого рода критерий подлежит применению — односторонний или двусторонний. В таблицах уровней значимости обычно значения для одностороннего и для двустороннего критериев даются либо в особых столбцах, либо в таблице указывается, какому значению одностороннего критерия соответствует значение двустороннего, и наоборот.
Возвращаясь к рассматриваемому примеру, следует признать, что для него при обработке с помощью критерия Уилкоксона применим двусторонний критерий: различия между показателями «до» и «после» в одних строках положительные, в других отрицательные, учитываются те и другие.
В таблице уровней значимости для критерия Т, имея в виду, что критерий двусторонний, находим, что для 0,95 уровня значение Т должно быть не более
3. Поскольку получено значение Т = 3,5, ho не следует отклонять.
Следовательно, критерий t Стьюдента свидетельствует о том, что Ho подлежит отклонению, а T-критерий Уилкоксона свидетельствует о том, что нуль- гипотезу отвергать не следует. Такого рода расхождения, особенно при работе с небольшими выборками, вполне возможны. То, что критерий Уилкоксона Т всего на 0,5 превысил установленный уровень значимости, говорит о том, что при увеличении объема выборки в 1,5 или в 2 раза критерий Т также окажется значимым. В параграфе, где пойдет речь о планировании эксперимента, еще предстоит рассмотреть вопрос об объеме выборок.
Сравнение нескольких выборок по Уилкоксону. Иногда исследователю приходится сравнивать не две, а несколько выборок: три, четыре и более. В таких случаях следует обратиться к простому и достаточно мощному непараметрическому критерию, представляющему собой модификацию критерия Уилкоксона. Метод позволяет сравнивать выборку с любой другой — вторую с третьей, первую с четвертой и т.д. Нужно, чтобы выборки были равными по численности.
Допустим, что учащимся 8-х классов четырех различных школ был предложен тест умственного развития. В школах использовались различные методы обучения и воспитания. Умственное развитие, как можно полагать, формировалось в каждой выборке в особых условиях. Эти условия и могли определить различия между выборками. Взято по 10 учеников из каждой школы.
Их результаты и даны в таблице (табл. 3).

Таблица 3
|№ |Школа I |Школа II |Школа III |Школа IV |
| |Результат|Ранг |Результа|Ранг |Результа|Ранг (R3) |Результа|Ранг |
| | |(R1) |т |(R2) |т | |т |(R4) |
|1 |96 |36,5 |96 |36,5 |32 |9,5 |40 |15 |
|2 |82 |30 |100 |39 |27 |3,5 |38 |14 |
|3 |80 |28,5 |93 |34 |68 |23 |42 |18,5 |
|4 |78 |25,5 |87 |33 |78 |25,5 |32 |9,5 |
|5 |34 |11 |100 |39 |54 |21 |31 |8 |
|6 |42 |18,5 |28 |5,5 |56 |22 |28 |5,5 |
|7 |42 |18,5 |80 |28,5 |83 |31,5 |42 |18,5 |
|8 |69 |24 |94 |35 |22 |1 |30 |7 |
|9 |79 |27 |25 |2 |41 |16 |36 |13 |
|10 |100 |39 |83 |31,5 |27 |3,5 |35 |12 |
| |SR |258 | |284,5 | |156,5 | |121 |

Объединим результаты четырех школ в один ряд и проранжируем его. Для этого расположим ряд в порядке его возрастания и перенесем полученные ранги в таблицу (табл. 4).

Таблица 4
|Результат|Ранг |Результат|Ранг |Результат|Ранг |Результат|Ранг |
|22 |1 |34 |11 |54 |21 |83 |31,5 |
|25 |2 |35 |12 |56 |22 |83 |31,5 |
|27 |3,5 |36 |13 |68 |23 |87 |33 |
|27 |3,5 |38 |14 |69 |24 |93 |34 |
|28 |5,5 |40 |15 |78 |25,5 |94 |35 |
|28 |5,5 |41 |16 |78 |25,5 |96 |36,5 |
|30 |7 |42 |18,5 |79 |27 |96 |36,5 |
|31 |8 |42 |18,5 |80 |28,5 |100 |39 |
|32 |9,5 |42 |18,5 |80 |28,5 |100 |39 |
|32 |9,5 |42 |18,5 |82 |30 |100 |39 |

Подсчитаем сумму рангов по каждой школе.
SR = 258 + 284,5 + 156,5 + 121 = 820.
Проверочная формула: SR = N/2(N+1) = 820, где N — общее число элементов, включающее все выборки. В этом примере оно равно 40.

| |Школа I |Школа II |Школа III |Школа IV |
| |SR = 258 |SR = 284,5 |SR = 156,5 |SR = 121 |
|Шк. I | |26,5 |101,5 |137 |
|SR = 258 | | | | |
|Шк. II |26,5 | |156,5 |163,5 |
|SR = 284,5 | | | | |
|Шк. III |101,5 |156,5 | |35,5 |
|SR = 156,5 | | | | |
|Шк. IV |137 |163,5 |35,5 | |
|SR = 121 | | | | |

Далее суммы рангов по выборкам размещаются в матрице.
На пересечении строк и столбцов указываются разности, показывающие, насколько отличается сумма рангов каждой выборки от других выборок.
По таблице значимости устанавливается, что при n = 10 (учитывается объем отдельной выборки) и при четырех условиях достигают уровня значимости 0,95
— величина 134 и более, а уровня значимости 0,99 — величина 163 и более.
Следовательно, существенное статистически значимое различие имеется между 1- й и 4-й выборками и между 2-й и 4-й выборками; в последнем случае на уровне значимости 0,99.
Корреляции. В примере, рассмотренном выше (С. 260), сравнивались два ряда чисел, представляющие два ряда показателей одной и той же выборки; по смыслу задачи нужно было установить, существенная ли разница между этими рядами. Это были ряды, взятые из ситуации «до» и «после». Есть, однако, и многочисленные ситуации, когда исследователь заинтересован не в том, чтобы найти степень существенности разницы между вариационными рядами, а в том, чтобы найти, насколько тесно эти ряды связаны между собой, какова направленность этой связи. Так, группе школьников были предложены два теста, задания которых были построены на материале школьных дисциплин гуманитарного цикла — литературы и истории. Но в первом тесте для выполнения заданий требовалась актуализация умственного действия аналогии, а во втором — умственного действия классификации. Данные тестирования представлены в двух числовых рядах. Исследователю нужно ответить на вопрос, насколько тесно связаны эти два ряда. При строгой постановке эксперимента это исследование должно было пролить свет на то, какую роль играют умственные действия, указанные выше, на усвоение знаний в гуманитарном цикле.
Пример. Исследовалась выборка из 15 школьников. Для вычисления коэффициента корреляции, отражающего тесноту связи между двумя рядами, используются как параметрические, так и непараметрические методы.
До перехода к расчетам полезно рассмотреть любые коррелируемые ряды в их размещении в корреляционной решетке. По оси абсцисс размещаются показатели одного, а по оси ординат — другого ряда.
Теснота связи между рядами благодаря этой решетке становится легко обозримой. На рис. 3 схематически изображены различные виды соотношения коррелируемых рядов. Как видно, схемы отражают всего пять различных соотношений.
[pic]

Рис. 3

На схемах можно усмотреть как тесноту связи, так и ее направленность.
Схема 3 демонстрирует полное отсутствие связи между рядами; на схеме 5 показана нелинейная связь между рядами, та ее форма, которая показана на этой схеме лишь одна из возможных.
Коэффициент корреляции принимает значение от -1 (схема 4) до +1 (схема 1).
В этих пределах возможны все числовые значения коэффициента корреляции.
Если никакой связи между рядами не существует, то коэффициент равен 0
(схема 3). В подавляющем большинстве случаев коэффициент составляет величину, не достигающую 1. При положительной корреляции при увеличении числовых значений одного ряда соответственно увеличиваются числовые значения другого ряда. При отрицательной корреляции увеличению числовых значений одного ряда соответствует уменьшение числовых значений другого ряда.
Если исследователь убежден в том, что оба коррелируемых ряда можно рассматривать как ряды параметрические, то для вычисления коэффициента корреляции применяется параметрический метод по формуле Пирсона:

[pic]

Существует много различных видов этой формулы, представляющих собой ее преобразования. Исследователь сам выбирает удобную для себя формулу. Об уровне значимости коэффициента корреляции судят по табл. 5, причем для г число степеней свободы fd = п - 2, где п — объем выборки.
Вычисление коэффициента корреляции по Пирсону. Коэффициент показывает тесноту связи между выполнением задач в тестах «Аналогии» и
«Классификации». Данные по тесту «Аналогии» обозначены х, а по тесту
«Классификации» — у.
Для упрощения расчетов введены некоторые тождества.

[pic]

|Испытуемые |х |y |х2 |y2 |ху |
|А |1 |3 |1 |9 |3 |
|Б |2 |4 |4 |16 |8 |
|В |3 |5 |9 |25 |15 |
|Г |3 |6 |9 |36 |18 |
|Д |4 |6 |16 |36 |24 |
|Е |4 |7 |16 |49 |28 |
|Ж |4 |7 |16 |49 |28 |
|3 |5 |8 |25 |64 |40 |
|И |5 |8 |25 |64 |40 |
|К |6 |8 |36 |64 |48 |
|Л |6 |8 |36 |64 |48 |
|М |7 |9 |49 |81 |63 |
|Н |8 |9 |64 |81 |72 |
|О |9 |10 |81 |100 |90 |
|П |10 |11 |100 |121 |110 |
|n = 15 |77 |109 |487 |859 |635 |

[pic]

Число степеней свободы fd = п - 2 = 15 - 2 = 13. По таблице уровней значимости находим, что при 13 степенях свободы r0,999 = = 0,760.
Сравниваем это значение с полученным коэффициентом:
0,76 < 0,96.
Полученный коэффициент корреляции показывает, что между результатами в тестах «Аналогии» и «Классификации» имеется связь. Высокий уровень значимости свидетельствует о том, что эта связь с высокой вероятностью будет воспроизводиться в таких же экспериментах.
Вычисление коэффициента корреляции по Спирмену (коэффициент ранговой корреляции).
Исследовательское задание указано на с. 266. Формула ранговой корреляции такова:

[pic] где d — разность рангов ряда х и ряда у т.е. (Rx- Ry).

Таблица 6

|Испытуемые |х |Rx |y |Ry |dRxRy |R2 dRxR y |
|А |1 |1 |3 |1 |0 |0 |
|Б |2 |2 |4 |2 |0 |0 |
|В |3 |3,5 |5 |3 |0,5 |0,25 |
|Г |3 |3,5 |6 |4,5 |1 |1 |
|Д |4 |6 |6 |4,5 |1,5 |2,25 |
|Е |4 |6 |7 |6,5 |0,5 |0,25 |
|Ж |4 |6 |7 |6,5 |0,5 |0,25 |
|3 |5 |8,5 |8 |9,5 |1 |1 |
|И |5 |8,5 |8 |9,5 |1 |1 |
|К |6 |10,5 |8 |9,5 |1 |1 |
|Л |6 |10,5 |8 |9,5 |1 |1 |
|М |7 |12 |9 |12,5 |0,5 |0,25 |
|Н |8 |13 |9 |12,5 |0,5 |0,25 |
|О |9 |14 |10 |14 |0 |0 |
|П |10 |15 |11 |15 |0 |0 |
|n = 15 | | | | |?d2RxRy = 8,5 |
|n2 = 225 | | | | | |

fd = п - 2 = 15 - 2 = 13.
Производится раздельное ранжирование ряда х и ряда у. Вычисляется разность рангов d попарно. Знак разности не существенен, так как по формуле нужно возвести d в квадрат. Далее действия определяются формулой:

[pic]
По таблице уровней значимости ? > ?0,99 (0,98 > 0,70).
Коэффициенты, вычисленные двумя разными способами, как и нужно было ожидать, чрезвычайно близки друг к другу; отличаются они на 0,02, что никакого значения практически не имеет.
Нельзя трактовать коэффициент корреляции как величину, означающую процент взаимозависимых связей вариант двух коррелируемых рядов, т.е. например, коэффициент 0,50 трактовать как 50% таких связей этих рядов. Это далеко не так. Об этом проценте вообще по коэффициенту корреляции судить нельзя.
Возведенный в квадрат коэффициент корреляции называется коэффициентом детерминации (r2 или ?2). Он показывает, сколько процентов вариант обоих рядов оказались взаимозависимыми. При коэффициенте 0,50 процент таких взаимозависимых вариант составит 0,502, т.е. 0,25 (Heinz A., Ebner С.
Grundlagen der Statistik fiir Psychologen, Padagogen und Soziologen.
Berlin, 1967. S. 112). Для коэффициента 0,98 коэффициент детерминации составит 0,982 = 0,9604. Следовательно, взаимозависимы примерно 96% вариант обоих рядов.
Корреляция как метод статистического анализа в психологических исследованиях применяется очень часто. Всем, кто работает с применением корреляционного анализа, т.е. выясняет посредством этого метода тесноту связи двух рядов, следует напомнить, что коэффициент, как бы высок он ни был, нельзя интерпретировать как показатель наличия причинной связи между коррелируемыми рядами. Если коэффициент и может быть как-то использован в обсуждении вопроса о возможных причинных связях, то только в том случае, когда содержательная логика исследования и выдвигаемые при этом теоретические соображения позволяют опереться как на один из аргументов и на значение коэффициента корреляции.
В изложении метода корреляции речь шла исключительно о линейных корреляциях, которые изображены на схемах №1,2, 4. Но там же приведена схема криволинейной корреляции (№ 5). Вообще говоря, вероятно, и в психике человека протекают процессы, взаимосвязь которых не имеет линейного вида.
Вычисление нелинейных корреляций и, главное их истолкование не относятся к простейшим статистическим методам, о которых говорится в этой главе. Но об их существовании следует знать.
Наконец, полезно напомнить, что корреляции по Пирсону (с определенными ограничениями и в определенных сочетаниях) создают ту базу, на которой открываются возможности перехода к так называемому факторному анализу.
(Наиболее ясное изложение сути факторного анализа см.: Теплов Б.М.
Типологические особенности в н.д. человека. М., 1967. Т. 5. С. 239).

Метод определения меры различия между наблюдаемыми и предполагаемыми
(теоретическими) численностями — хи-квадрат.
Ранее были рассмотрены различные отношения между выборками: количественное преобладание какого-то признака, представленного в одной из выборок, теснота связи между выборками. Но есть еще одно важное отношение между ними: количественная разница распределений, благодаря которой при сопоставлении выборок открывается возможность прийти к содержательным выводам. Это отношение обнаруживается при сопоставлении распределений численностей. Допустим, что сравниваются две выборки, выпускников двух школ. Часть выпускников каждой школы сдавали экзамены в вузы. Из первой школы сдавали экзамены 100 человек, из них 82 успешно, не сдали 18. Таково распределение численности в первой выборке. Из второй школы сдавали экзамены в вузы 87 человек, выдержали 44 человека, не сдали — 43. Таково распределение численностей во второй выборке. Достаточно ли этих данных, чтобы утверждать, что подготовленность к вузовским экзаменам выпускников этих школ неодинакова? На первый взгляд, разница налицо: лучше подготовлены выпускники первой школы. Однако при таком раскладе численностей возможно влияние случайности. Поэтому встает вопрос, можно ли, считаясь с представленными распределениями, прийти к статистически обоснованному выводу о мере подготовленности к экзаменам в вузы той и другой выборки.
Метод, с помощью которого подвергаются статистическому анализу описанные распределения численностей, получил название хи-квадрат, его обозначают греческой буквой x2 с показателем степени. Он был разработан математиком
Пирсоном. Метод x2 весьма универсален, применим во многих исследованиях, пригоден для статистического анализа распределения численностей разнообразных количественных материалов, относящихся ко всем статистическим шкалам, в том числе и к шкале наименований.
Техника вычисления хи-квадрата довольно проста. Рассмотрим пример со сдачей экзаменов в вузы выпускниками первой и второй школ. В условии сказано, что всего намерены были сдавать экзамены 187 человек: 100 учащихся
(53,5%) из первой школы и 87 (46,5%) из второй. Предположим, что выпускники обеих школ подготовлены одинаково, тогда и доли сдавших и не сдавших будут такие же, как доли их представленности в общем числе сдающих. Всего сдало экзамены 126 выпускников (82 + 44). Согласно высказанному предположению,
53,5% от этого числа должны бы были прийтись на 1-ю школу — это составит
66,9 от 126 — и 46,5% на 2-ю школу, что составит 58,9 от 126. Такое же рассуждение повторяем и относительно несдавших. Их всего 61 человек (18 +
43). На 1-ю школу, как нам известно, должно, по предположению, прийтись
53,5% от этого числа, т.е. 33,0 от 61, а на долю 2-й школы — 46,5%, т.е.
28,1 от 61. Нуль-гипотеза, имеющая в данном раскладе тот смысл, что между выпускниками нет различия, при таком соотношении сдавших и несдавших подтвердилась бы. Однако в условиях этого исследования показано другое распределение. Количество выпускников 1-й школы, сдавших экзамены, составляет 82, а не 66,9, как можно было бы предположить, исходя из нуль- гипотезы. Соответственно количество выпускников 2-й школы, сдавших экзамены, составляет в действительности всего 44, а не 58,9. Точно также, сравнивая количество несдавших (по условию с предполагаемым распределением) найдем по 1-й школе 18, а не 33, а по 2-й школе — 43, а не 28,1.
Расхождения между действительными распределениями и распределениями, которые могли бы иметь место, если исходить из нуль-гипотез, налицо. Они-то и учитываются при вычислении x2. Все сказанное удобно представить в виде таблицы-графика распределения численностей (табл. 7). Количества, которые были бы получены при принятии нуль-гипотезы, заключены в скобки. В правом углу буквенное обозначение клетки.