10. Математическая модель биполярного транзистора.

Общая эквивалентная схема транзистора, используемая при получении математической модели, показана на рис.10-1. Каждый p-n-переход представлен в виде диода, а их взаимодействие отражено генераторами токов. Если эмиттерный p-n-переход открыт, то в цепи коллектора будет протекать ток, несколько меньший эмиттерного (из-за процесса рекомбинации в базе). Он обеспечивается генератором тока [pic]. Индекс N означает нормальное включение. Так как в общем случае возможно и инверсное включение транзистора, при котором коллекторный p-n-переход открыт, а эмиттерный смещен в обратном направлении и прямому коллекторному току [pic] соответствует эмиттерный ток [pic], в эквивалентную схему введен второй генератор тока [pic], где [pic] - коэффициент передачи коллекторного тока.
Таким образом, токи эмиттера и коллектора в общем случае содержат две составляющие: инжектируемую ([pic] или [pic]) и собираемую ([pic] или
[pic]):
[pic], [pic]

(10.1)
Эмиттерный и коллекторный p-n -переходы транзистора аналогичны p-n
-переходу диода. При раздельном подключении напряжения к каждому переходу их вольтамперная характеристика определяется так же, как и в случае диода.
Однако если к одному из p-n -переходов приложить напряжение, а выводы другого p-n -перехода замкнуть между собой накоротко, то ток, протекающий через p-n -переход, к которому приложено напряжение, увеличится из-за изменения распределения неосновных носителей заряда в базе. Тогда:
[pic], [pic] (10.2) где [pic]- тепловой ток эмиттерного p-n -перехода, измеренный при замкнутых накоротко выводах базы и коллектора; [pic] - тепловой ток коллекторного p-n
-перехода, измеренный при замкнутых накоротко выводах базы и эмиттера.
[pic]
Рис. 10-1. Эквивалентная схема идеализированного транзистора

Связь между тепловыми токами p-n -переходов [pic],[pic]включенных раздельно, И тепловыми токами [pic],[pic] получим из (10.1 и 10.2).
Пусть [pic]. Тогда [pic]. При [pic]. Подставив эти выражения в (10.1), для тока коллектора получим [pic].
Соответственно для [pic]имеем [pic]
Токи коллектора и эмиттера с учетом (10.2) примут вид
[pic]
[pic] (10.3)
На основании закона Кирхгофа ток базы
[pic] (10.4)
При использовании (10.1)-(10.4) следует помнить, что в полупроводниковых транзисторах в самом общем случае справедливо равенство

[pic]

(10.5)
Решив уравнения (10.3) относительно [pic], получим
[pic]

(10.6)
Это уравнение описывает выходные характеристики транзистора.
Уравнения (10.3), решенные относительно [pic], дают выражение, характеризующее идеализированные входные характеристики транзистора:
[pic] (10.7)
В реальном транзисторе кроме тепловых токов через переходы протекают токи генерации — рекомбинации, канальные токи и токи утечки. Поэтому
[pic],[pic], [pic],[pic] как правило, неизвестны. В технических условиях на транзисторы обычно приводят значения обратных токов p-n-переходов
[pic],[pic]. определенные как ток соответствующего перехода при неподключенном выводе другого перехода.
Если p-n-переход смещен в обратном направлении, то вместо теплового тока можно подставлять значение обратного тока, т. е. считать, что [pic]и [pic].
В первом приближении это можно делать и при прямом смещении p-n-перехода.
При этом для кремниевых транзисторов вместо [pic] следует подставлять
[pic], где коэффициент m учитывает влияние токов реального перехода (m = 2
- 4). С учетом этого уравнения (10.3), (10.5) часто записывают в другом виде, который более удобен для расчета цепей с реальными транзисторами:
[pic] (10.8)
[pic] (10.9)
[pic]

(10.10) где [pic].
Различают три основных режима работы биполярного транзистора: активный, отсечки, насыщения.
В активном режиме один из переходов биполярного транзистора смещен в прямом направлении приложенным к нему внешним напряжением, а другой - в обратном направлении. Соответственно в нормальном активном режиме в прямом направлении смещен эмиттерный переход, и в (10.3), (10.8) напряжение
[pic]имеет знак «+». Коллекторный переход смещен в обратном направлении, и напряжение [pic] в (10.3) имеет знак « - ». При инверсном включении в уравнения (10.3), (10.8) следует подставлять противоположные полярности напряжений [pic], [pic]. При этом различия между инверсным и активным режимами носят только количественный характер.
Для активного режима, когда [pic] и [pic] (10.6) запишем в виде [pic].
Учитывая, что обычно [pic] и [pic], уравнение (10.7) можно упростить:
[pic] (10.11)
Таким образом, в идеализированном транзисторе ток коллектора и напряжение эмиттер-база при определенном значении тока [pic] не зависят от напряжения, приложенного к коллекторному переходу. В действительности изменение напряжения [pic] меняет ширину базы из-за изменения размеров коллекторного перехода и соответственно изменяет градиент концентрации неосновных носителей заряда. Так, с увеличением [pic] ширина базы уменьшается, градиент концентрации дырок в базе и ток [pic] увеличиваются. Кроме этого, уменьшается вероятность рекомбинации дырок и увеличивается коэффициент
[pic]. Для учета этого эффекта, который наиболее сильно проявляется при работе в активном режиме, в выражение (10.11) добавляют дополнительное слагаемое
[pic]

(10.12)
[pic] - дифференциальное сопротивление запертого коллекторного p-n- перехода.
Влияние напряжения [pic] на ток [pic] оценивается с помощью коэффициента обратной связи по напряжению
[pic], который показывает, во сколько раз следует изменять напряжение [pic] для получения такого же изменения тока [pic], какое дает изменение напряжения
[pic]. Знак минус означает, что для обеспечения [pic]= const приращения напряжений должны иметь противоположную полярность. Коэффициент [pic] достаточно мал ([pic]), поэтому при практических расчетах влиянием коллекторного напряжения на эмиттерное часто пренебрегают.
В режиме глубокой отсечки оба перехода транзистора смещены в обратном направлении с помощью внешних напряжений. Значения их модулей должны превышать [pic]. Если модули обратных напряжений приложенных к переходам транзистора окажутся меньше [pic], то транзистор также будет находиться в области отсечки. Однако токи его электродов окажутся больше, чем в области глубокой отсечки.
Учитывая, что напряжения [pic] и [pic] имеют знак минус, и считая, что
[pic] и [pic], выражение (10.9) запишем в виде
[pic]
[pic]

(10.13)
Подставив в (10.13) значение [pic], найденное из (10.8), и раскрыв значение коэффициента А, получим
[pic]
[pic]

(10.14) что [pic], а [pic], то выражения (10.14) существенно упростятся и примут вид
[pic]
[pic]

(10.15) где [pic]; [pic]
Из (10.15) видно, что в режиме глубокой отсечки ток коллектора имеет минимальное значение, равное току единичного p-n-перехода, смещенного в обратном направлении. Ток эмиттера имеет противоположный знак и значительно меньше тока коллектора, так как [pic]. Поэтому во многих случаях его считают равным нулю: [pic].
Ток базы в режиме глубокой отсечки приблизительно равен току коллектора:
[pic]

(10.15)
Режим глубокой отсечки характеризует запертое состояние транзистора, в котором его сопротивление максимально, а токи электродов минимальны. Он широко используется в импульсных устройствах, где биполярный транзистор выполняет функции электронного ключа.
При режиме насыщения оба p-n-перехода транзистора с помощью приложенных внешних напряжений смещены в прямом направлении. При этом падение напряжения на транзисторе ([pic]) минимально и оценивается десятками милливольт. Режим насыщения возникает тогда, когда ток коллектора транзистора ограничен параметрами внешнего источника энергии и при данной схеме включения не может превысить какое-то значение [pic]. В то же время параметры источника внешнего сигнала взяты такими, что ток эмиттера существенно больше максимального значения тока в коллекторной цепи:
[pic].
Тогда коллекторный переход оказывается открытым, падение напряжения на транзисторе—минимальным и не зависящим от тока эмиттера. Его значение для нормального включения при малом токе [pic] ([pic]) равно
[pic]

(10.16)
Для инверсного включения
[pic]

(10.16)
В режиме насыщения уравнение (10.12) теряет свою справедливость. Из сказанного ясно, что, для того чтобы транзистор из активного режима перешел в режим насыщения, необходимо увеличить ток эмиттера (при нормальном включении) так, чтобы начало выполняться условие [pic]. Причем значение тока [pic], при котором начинается этот режим, зависит от тока [pic], определяемого параметрами внешней цепи, в которую включен транзистор.