В предыдущих лабораторных работах была изложена теория многочленной аппроксимации. Попробуем теперь изложить подобную теорию для аппроксимации периодических функций рядами Фурье. Ряд Фурье на интервале -N(t(N можно записать так:

[pic] где [pic](k=0, 1, 2, …)

[pic] (k=0, 1, 2, …)

1

-( 0 (

-1

В качестве примера рассмотрим разложение прямоугольного колебания в ряд
Фурье. Подобное колебание, называемое меандром, находит широкое применение в технике. Итак,
[pic]

Так как на практике мы не можем вычислить бесконечную сумму, проанализируем, как увеличение числа слагаемых влияет на приближение. При этом мы сталкиваемся с явлением Гиббса.

[pic]

H(t)

0 ( 2( 3( t

Прямоугольная

Рассмотрим это явление на примере прямоугольной волны H(t) с периодом
2(.

Если вычислить сумму первых 2n членов, то все члены с косинусами будут равны нулю и получаем: [pic] (
[pic]

H2n(t)

H(t)

1

Ѕ

явление Гиббса ( t
Гиббс отметил, что частичная сумма H2n превосходит функцию на некоторую величину. Более точно

H2n[pic]1,08949…, при n((

Действительно, H2n(t) не только превосходит функцию H(t), но и имеет тенденцию колебаться около H(t), и колебания уменьшаются медленно, когда t удаляется от разрыва.

Чтобы объяснить явление, запишем ( как [pic] ( где использована формула

[pic]

Из выведенной формулы ( ясно, что максимум и минимум для 0(t(( достигаются в точках [pic] , то есть при t=[pic] , m=1, 2, …, 2n-1, и что они чередуются.

То, что верно для этой специальной функции, очевидно, верно и для более общих функций, так как разрыв можно рассматривать как возникающий из прямоугольной волны, прибавленной к главной функции.