Контрольная по математическому анализу. Двойной интеграл: определение, основные свойства, геометрический смысл. Вычисление двойного интеграла в декартовых .

Теоретические вопросы 1. Двойной интеграл: определение, основные свойства, геометрический смысл. Определение двойного интеграла. Теорема существования двойного интеграла. Пусть на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и пусть на области D определена функция f(x, y). Разобьём область D произвольным образом на n подобластей D1, D2, D3, …, Dn, (не имеющих общих внутренних точек). Символом s(Di) будем обозначать площадь области Di; символом diam(D)здесь и дальше будет обозначаться наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащими области D: ; символом d обозначим наибольший из диаметров областей Di: . В каждой из подобластей Di (i = 1,2, …, n) выберем произвольную точку Pi = (xi, yi), вычислим в этой точке значение функции f(Pi ) = f (xi, yi), и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения области D на подобласти Di, ни от выбора точек Pi, то функция f(x, y) называется интегрируемой по области D, а значение этого предела называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается . Если расписать значение f(P) через координаты точки P, и представить ds как ds = dx dy, получим другое обозначение двойного интеграла: . Итак, кратко, . Свойства двойного интеграла. Линейность. Если функции f(x, y), g(x, y) интегрируемы по области D, то их линейная комбинация тоже интегрируема по области D, и . Док-во. Для интегральных сумм справедливо равенство . Переходя к пределу при и пользуясь свойствами пределов, рассмотренными в разделе Арифметические действия с пределами. Аддитивность. Если область D является объединением двух областей D1 и D2, не имеющих общих внутренних точек, то . Док-во. Пусть область D1 разбита на подобласти D1,1, D1,2, …, D1, n1; область D2 разбита на подобласти D2,1, D2,2, …, D2, n2. Тогда объединение этих разбиений даст разбиение области D: на n1 + n2 подобластей. Интегральная сумма по области D равна сумме сумм по областям D1 и D2: . Как и в предыдущем случае, переходя к пределу при , получим требуемое равенство. Интеграл от единичной функции по области D равен площади этой области: . Док-во: Для любого разбиения , т.е. не зависит ни от разбиения, ни от выбора точек Pi. Предел постоянной равен этой постоянной, поэтому . Геометрический смысл двойного интеграла. Геометрический смысл каждого слагаемого интегральной суммы: если , то - объём прямого цилиндра с основанием Di высоты f(Pi); вся интегральная сумма - сумма объёмов таких цилиндров, т.е. объём некоторого ступенчатого тела (высота ступеньки, расположенной над подобластью Di, равна f(Pi)). Когда , это ступенчатое тело становится всё ближе к изображенному на рисунке телу, ограниченному снизу областью D, сверху - поверхностью z = f(x, y), с цилиндрической боковой поверхностью, направляющей которой является граница области D, а образующие параллельны оси Oz. Двойной интеграл равен объёму этого тела. 2. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла. Пусть D - область, простая в направлении оси Oy. Рассмотрим выражение . Эта конструкция определяется через два обычных определённых интеграла. После интегрирования по у во внутреннем интеграле (переменная х при этом рассматривается как постоянная) и подстановки по у в пределах от до получается функция, зависящая только от х, которая интегрируется в пределах от a до b. В дальнейшем мы будем обычно записывать этот объект без внутренних скобок: .

1. Двойной интеграл: определение, основные свойства, геометрический смысл. 2. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла. 3. Двойной интеграл в полярных координатах. Вычисление площади сектора с помощью двойного интеграла 4. Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойных и тройных интегралов. 5. Тройной интеграл: определение, основные свойства. 6. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат. 7. Тройные интегралы в цилиндрических и сферических координатах. 8. Криволинейные интегралы по длине дуги: определение, свойства и вычисление интегралов. 9. Криволинейные интегралы по координатам: определение, свойства и вычисление интегралов. 10. Формула Грина. 11. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

-