При введении понятия определенного интеграла, а также при рассмотрении задач, связанных с ним, все время делалось предположение, что область интегрирования конечна, а интегрируемая функция на нем непрерывна. Если интервал интегрирования бесконечен или функция в этом интервале имеет точки разрыва, то введенное выше понятие определенного интеграла неприменимо. Однако существует целый ряд задач, когда возникает необходимость распространить понятие определенного интеграла на случаи бесконечных интервалов интегрирования и разрывных функций.
Рассмотрим вначале случай интегралов с бесконечными пределами. Пусть функция непрерывна на промежутке . Следовательно, можно вычислить любой определенный интеграл с верхним пределом . Величина этого интеграла будет меняться в процессе изменения , но его можно будет вычислить до тех пор, пока конечное число. Как только верхний предел станет равным бесконечности, -ая интегральная сумма, приводящая в пределе к определенному интегралу, потеряет смысл. Действительно, в этом случае уже нельзя будет ни задать , ни вычислить . Иначе говоря, последняя частичная трапеция при записи -ой интегральной суммы будет всегда иметь бесконечно большое основание и ее площадь вычислить обычными методами не удастся. В этом случае выход из положения заключается в том, что находится не на бесконечности, а стремится к ней.
Определение 1. Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным пределом от функции и обозначается .
Итак, по определению . В этом и заключается метод вычисления таких интегралов. Очевидно, что поскольку данное вычисление связано с нахождением предела, то ответ может существовать или нет.
Определение 2. Если в несобственном интеграле предел существует, то интеграл называется сходящимся, если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.
Очевидно, с геометрической точки зрения несобственный интеграл с бесконечными пределами равен площади неограниченной области, лежащей между осью , кривой и прямой .
Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:
Вычислительная математика, ТУСУР
1. Вычисление несобственных интегралов
Несобственные интегралы с бесконечными пределами
2. Метод наименьших квадратов решения интегрального уравнения 2-го рода.
3. Метод замены интеграла квадратурой суммы
4. Найти приближенное решение методом последовательных приближений уравнения . Оценить погрешность и найти значения , при которых решение сходится.
5. Найти приближенное решение методом последовательных приближений уравнения . Оценить погрешность и найти значения , при которых решение сходится.
6. Решить методом Рунге-Кутта 2-го порядка уравнение:
, , , .
Список литературы
1. Амосов А., Дубинский Ю. А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. - М.: Высш. шк., 1994. 2. Бахвалов Н. С. Численные методы. - М.: Наука, 2003. 3. Волков Е. А. Численные методы. - М.: Наука, 2007. 4. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 2008. 5. Копченова Н.В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах. - М.: Наука, 2002. 6. Пирумов У.Г. Численные методы.: Учебное пособие. - М.: Изд-во МАИ, 1998.
i = 0, 1, 2. Вычислить значения f(x) и полинома Лагранжа в точке a. Оценить погрешность интерполяции в этой точке.2. Построить в одной системе координат графики полинома Лагранжа и заданной функции f(
ислами (при решении задачи симплексным методом эти числа предполагались неотрицательными). Такую задачу и рассмотрим теперь, предварительно предположив, что единичными являются векторы т. е. рассмотр