Трансцендентные числа.

Введение

Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества, в процессе трудовой деятельности. Развиваясь в дальнейшем, математика перешла к более сложным вопросам, одним из которых стал вопрос теории чисел об алгебраических и трансцендентных числах.
Эта теория более молодая и не так развита, как другие теории математики. Однако появление этой теории позволило решить некоторые неразрешимые до этого вопросы математики; теория получила достаточно широкое практическое применение. Этот факт и послужил основанием для выбора темой выпускной квалификационной работы следующую – «Трансцендентные числа».
Перед началом работы мною были поставлены следующие цели и задачи:
1) изучить и изложить историю возникновения теории алгебраических и трансцендентных чисел, а особенно появление первых теорем о трансцендентных числах, различные виды доказательств этих утверждений и их практическое применение;
2) изложить утверждения о трансцендентности некоторых важных в математике констант и доказательство этих утверждений:
3) построить примеры трансцендентных чисел на основе изложенного материала.
Для написания выпускной квалификационной работы была изучена литература по истории математики и теории чисел, а также по теории чисел, чтобы на основе этих теоретических данных проводить практическое исследование алгебраичности и трансцендентности некоторых чисел, а также осуществить построение примеров трансцендентных чисел на основе теоремы Лиувилля. Все полученные результаты оформлены в данной работе.
Первая глава посвящена историческому развитию данной теории. Изложено появление алгебраических чисел, а затем на основе этого выделение трансцендентных. В этом разделе приведены исторические этапы формирования утверждений о трансцендентных числах и некоторая информация о личностях, внесших свой вклад в данную теорию. Особое значение уделяется работам в этой области Ш. Эрмита, Ф. Линдемана и А.Гельфонда и их основным выводам: о трансцендентности чисел и , а так же решение седьмой проблемы Гильберта.
Во второй главе были приведены основные теоремы, связанные с этой теорией. Первая часть ее состоит в изложении понятия алгебраических чисел. Особенно выделяется тот факт, что множество алгебраических чисел является полем. Далее приводится утверждение об алгебраической замкнутости этого поля, которое так же является немаловажным. Затем излагаются варианты нахождения рациональных приближений алгебраических чисел. Во второй части главы вводится понятие трансцендентных чисел, того факта, что их много больше алгебраических. Затем излагаются теорема Лиувилля, дающая возможность строить конкретные примеры так называемых трансцендентных чисел Лиувилля, и усиление ее утверждением Рота. В завершении приводятся примеры некоторых алгебраических и трансцендентных чисел, связанных с тригонометрическими формулами.
В третьей главе приведены доказательства теорем о трансцендентности некоторых важных констант математики. Излагается с внесенными комментариями доказательство трансцендентности числа , осуществленное Эрмитом, и как следствие – теорема Линдемана, устанавливающая трансцендентность обширного класса чисел. Затем приводится доказательство утверждения Эрмита, сделанное Ф. Клейном, взятое из его книги «Элементарная математика с точки зрения высшей». После, основываясь на приведенном выше, даются утверждения о трансцендентности чисел (оно позволило вывести утверждение о неразрешимости задачи о квадратуре круга) и (при любом алгебраическом , отличном от нуля). Далее излагаются утверждения Гельфонда и их значение, а именно: решение седьмой проблемы Гильберта. В завершении приводятся примеры построения трансцендентных чисел с помощью теоремы Лиувилля.
На основе полученных результатов было написано заключение по работе.



















1. Истории развития алгебраических и трансцендентных чи¬сел

Во множестве комплексных чисел естественно выделить так называемые целые алгебраические числа, представляющие собой корни многочле¬нов с целыми коэффициентами.
Огромное значение в развитии теории чисел имели замечательные работы Карла Гаусса (1777-1855). Гаусс наряду с изучением обычных чисел начал рассматривать так же и арифметику чисел, получивших название целых гауссовских чисел, а именно числа вида , где а и b – обычные целые числа. Эти его исследования положили начала алгебраической теории чисел.

Введение………………………………………………………………….3
1. История развития алгебраических и трансцендентных чисел…6
2. Основные теоремы о трансцендентных числах………………..16
2.1. Понятие алгебраических чисел…………………………..16
2.2. Понятие трансцендентных чисел………………………...26
2.3. Некоторые задачи на алгебраические и трансцендентные числа…………………………………………………………………….30
3. Некоторые трансцендентные числа…………………………….35
3.1. Трансцендентность числа . Доказательство Эрмита….35
3.2. Трансцендентность числа . Доказательство Клейна….38
3.3. Трансцендентность и (при любом алгебраическом )…………………………………………………………………46
3.4. Утверждения Гельфонда………………………………….47
3.5. Построение примеров трансцендентных чисел…………47
Заключение……………………………………………………………..50
Список литературы…………………………………………………….51

1. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960.
2. Бородин А.И., Бугай А.С. Выдающиеся математики (справочник). Киев: Радяньска Школа, 1987.
3. Белл Э.Т. Творцы математики. М.: Просвещение, 1979.
4. Гельфонд А.О. Трансцендентные и алгебраические числа. М., 1952.
5. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Том 1. Арифметика. Алгебра. М.: Физматлит, 1987.
6. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в 19 столетии. М.: Физматлит, 1989.
7. Нестеренко Ю. В. Лекции об алгебраических числах // Конспект курса лекций, читаемых на мехмате МГУ.
8. Ожигова Е.П. Шарль Эрмит. Л: Наука, 1982.
9. Тихомиров В.М. Великие математики прошлого и их великие теоремы. М.: МЦНМО, 2003.
10. Фельдман Н.И. Алгебраические и трансцендентные числа// Квант. – 1983. – №7. – С.2-7.
11. Фельдман Н.И., Шидловский А.Б. Развитие и современное состояние теории трансцендентных чисел. УМН, 1967, 3–81.