Формирование оптимального портфеля ценных бумаг

Задача 1. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг по модели

Марковица

Цель работы: Получить практические навыки и умения формирования портфелей ценных бумаг.

Порядок выполнения задания

1. Рассчитать по формулам (3-4) параметры математической модели (2).

2. Составить математическую модель оптимального портфеля (2) по критерию минимального риска.

3. Решить задачу и определить доли капитала на покупку ценных бумаг каждого вида.

4. Составить математическую модель оптимального портфеля по критерию максимальной доходности и заданного риска

5. Решить задачу.

Краткие теоретические сведения.

На финансовом рынке обращается, как правило, несколько типов ценных бумаг: государственные ценные бумаги, муниципальные облигации, корпоративные акции и т.п. Если у участника рынка есть свободные деньги, то их можно отнести в банк и получать проценты или купить на них ценные бумаги и получать [pic][pic]дополнительный доход. Но в какой банк отнести? Какие ценные бумаги купить? Ценные бумаги с низкими рисками, как правило, и малодоходны, высокодоходные, как правило, более рискованны. Экономическая наука может дать некоторые рекомендации для решения этого вопроса.

Постановка задачи об оптимальном портфеле Марковица

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на приобретение ценных бумаг. Цель инвестора – вложить деньги так, чтобы сохранить свой капитал, а при возможности и нарастить его.

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка, называется его портфелем. Стоимость портфеля – это суммарная стоимость всех составляющих его бумаг. Если сегодня его стоимость есть Р, а через год она окажется равной Р/, то ( Р/- Р)/Р естественно назвать доходностью портфеля в процентах годовых. Т.е. доходность портфеля – это доходность на единицу его стоимости.

Пусть xi – доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг i-го вида. Весь выделенный капитал принимается за единицу. Пусть di- доходность в процентах годовых бумаг i-го вида в расчете на одну денежную единицу.

Найдем доходность всего портфеля dp. С одной стороны, через год капитал портфеля будет равен 1+dp, с другой – стоимость бумаг i-го вида увеличится с х до хi+dixi, так что суммарная стоимость портфеля будет

[pic]+[pic][pic]=1+[pic]xidi. Приравнивая оба выражения для стоимости портфеля, получаем

1+dp = 1+[pic]xidi. dp=[pic]xidi (1)

Итак, задача увеличения капитала портфеля эквивалентна аналогичной задаче о доходности портфеля, выраженной через доходности бумаг и их доли формулой (1).

Как правило, доходность колеблется во времени, так что будем считать ее случайной величиной. Пусть mi, [pic]i – средняя ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение ( СКО ) этой случайной доходности, т.е.

[pic] mi=M[pic] - математическое ожидание доходности и ri=[pic], где Vii – дисперсия i – й доходности. Будем называть mi,ri соответственно эффективностью и риском i – й ценной бумаги. Через Vij обозначим ковариацию доходностей ценных бумаг i – го и j – го видов (или кореляционный момент Кij).

Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг случайна, то и доходность портфеля есть также случайная величина. Математическое ожидание доходности портфеля есть M[pic]=x1M[pic]+…+xnM[pic]=[pic], обозначим его через mp. Дисперсия доходности портфеля есть D[pic] =

[pic]. Так же, как и для ценных бумаг назовем mp- эффективностью портфеля, а величину [pic]p=[pic] - риском портфеля rp. Обычно дисперсия доходности портфеля обозначается Vp.

Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с дилеммой: хочется иметь эффективность больше, а риск меньше. Однако поскольку